Векторная алгебра. Конев В.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

12. Преобразование координат базисных векторов при
повороте прямоугольной системы координат
Пусть векторы ,
}0,0,1{=
1
e }0,1,0{
=
2
e
и
}1,0,0{
=
3
e
образуют
ортонормированный базис прямоугольной системы координат.
1
Условия ортогональности единичных векторов можно представить
единой формулой
ji
δ
=
⋅
ji
ee , (16)
где
ji
δ
– дельта символ Кронекера.
2
Перейдем к новой прямоугольной системе координат, полученной
поворотом исходной системы вокруг начала координат.
Пусть векторы
,
}0,0,1{
1
=
′
e }0,1,0{
2
=
′
e
и
}1,0,0{
3
=
′
e
образуют
ортонормированный базис новой системы координат. Тогда
ijji
δ
=
′
⋅
′
ee . (17)
Согласно теореме о направляющих косинусах координаты векторов
, и в базисе ,
1
e
2
e
3
e
1
e
′
2
e
′
,
3
e
′
равны направляющим косинусам этих
векторов.
Для удобства последующего изложения введем универсальные
обозначения, используя символы
для обозначения
направляющих косинусов вектора
(n = 1, 2, 3).
321
и,
nnn
uuu
n
e
Тогда разложение векторов старого базиса по новому базису
описывается выражениями
3132121111
eeee
′
+
′
+
′
= uuu
,
3232221212
eeee
′
+
′
+
′
= uuu
, (18)
3332321313
eeee
′
+
′
+
′
= uuu
.
Можно использовать и более компактную форму записи:
∑
=
′
=
3
1k
knkn
u ee
(n = 1, 2, 3). (19)
Подставим эти выражения в равенство (16):
ji
δ
=⋅
ji
ee .
⇒
ji
km
mkjmik
uu
δ
=
′′
∑∑
==
3
1
3
1
ee
Учитывая условия (17), получаем соотношения
ji
k
kjki
k
jkik
uuuu
δ
∑∑
==
==
3
1
3
1
(i, j =1, 2, 3). (20)
1
Напомним, что термин “ортонормированный базис” означает базис, образованный единичными
взаимно перпендикулярными векторами.
27
2
Числа
ji
δ
являются элементами единичной матрицы: и определяются выражением
⎩
⎨
⎧
≠
=
ji
ji
ji
если,0
если,1
δ

Страницы