Векторная алгебра. Конев В.В. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Например,
0coscoscoscoscoscos
212121
=
⋅
+
⋅
+⋅
γ
γ
β
β
α
α
,
0coscoscoscoscoscos
313131
=
⋅
+
⋅
+⋅
γ
γ
β
β
α
α
,
1coscoscos
1
2
1
2
1
2
=++
γβα
,
1coscoscos
2
2
2
2
2
2
=++
γβα
и т.д.
Полученные соотношения имеют наиболее простой вид в матричной
форме записи.
Введем матрицу ||||
ij
uU
=
, элементами которой являются
направляющие косинусы векторов
(n = 1, 2, 3).
n
e
Тогда соотношения (20) эквивалентны матричным равенствам
UU
T
=
⋅
,
UU
T
=
⋅
,
где
– транспонированная матрица;
T
U
||||
ji
I
δ
=
– единичная матрица.
Очевидно, что матрица
является обратной для матрицы
T
U
U
:
1−
=
UU
T
.
В таких случаях про матрицу
U
говорят, что она является унитарной.
Введем еще две матрицы,
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
2
1
e
e
e
E
и
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
3
2
1
~
~
~
~
e
e
e
E
.
Обратите внимание на то, что в этом разделе символ
E не имеет ни
малейшего отношения к единичной матрице и используется для
обозначения матрицы, составленной из базисных векторов.
Тогда соотношения (19) можно представить в виде
E
U
E
′
⋅
=
.
Отсюда сразу же следует формула обратного преобразования, т.е.
формула перехода от старого базиса к новому:
E
UU
E
U
′
⋅=
−− 11
⇒
E
U
E
U
E
T
=
=
′
−1
.
Это матричное соотношение эквивалентно следующим трем векторным
равенствам:
∑
=
=
′
3
1k
kknn
u ee
(n = 1, 2, 3)
или в подробной записи,
3312211111
eeee uuu
+
+
=
′
,
3322221122
eeee uuu
+
+
=
′
, (21)
3332231133
eeee uuu
+
+
=
′
.
28

Страницы