Векторная алгебра. Конев В.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

13. Преобразование координат произвольного вектора
при повороте системы координат
Представим произвольный вектор a в виде разложения по базису
ортонормированных векторов
, , :
1
e
2
e
3
e
∑
=
=++=
3
1
32211
i
iiz
aaaa eeeea
. (22)
Затем перейдем к новому базису, соответствующему системе
координат, полученной поворотом исходной системы вокруг начала
координат. Разложение вектора
a по базису
1
e
′
,
2
e
′
,
3
e
′
имеет вид
∑
=
′′
=
′′
+
′′
+
′′
=
3
1
32211
i
iiz
aaaa eeeea
. (23)
Тогда
∑∑
==
′′
=
3
1
3
1 k
kk
i
ii
aa ee
.
Используя формулы преобразований (19), получаем
∑∑∑
===
′′
=
′
3
1
3
1
3
1 k
kk
ik
kiki
aua ee
⇒
.
∑∑∑
===
′′
=
′
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
3
1
3
1
3
1 k
kk
k
k
i
iik
aau ee
Следовательно,
332211
3
1
auauauaua
kkk
i
iikk
++==
′
∑
=
. (24)
Аналогично получаются формулы перехода от нового к старому
базису:
332211
3
1
auauauaua
kkk
i
ikik
′
+
′
+
′
=
′
=
∑
=
. (25)
В заключение покажем, что скалярное произведение векторов не
зависит от выбора системы координат.
Теорема. Скалярное произведение векторов инвариантно относительно
поворота системы координат.
Доказательство. Пусть и }},,{
zyx
aaa=a ,,{
zyx
bbb
=
b – два произвольных
вектора. По определению скалярного произведения и с учетом формул
преобразования (24) имеем
.
3
1,,
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
∑∑∑∑
∑∑∑∑
==
====
==
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
′′
=
i
ii
ji
jiij
ji
ji
k
jkik
kj
jjk
i
iik
k
kk
baaabauu
buauba
δ
ab
29

Страницы