Исследование функций. Коноплева И.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

12
Найдем проекции вектора
→
S на оси
Ох:
ϕ
cos
0
⋅⋅= tX v , Оу:
2
sin
2
0
gt
tY −⋅⋅=
ϕ
v
.
Найдем время полета. В момент падения Y=0, отсюда
0
2
sin
2
0
=−⋅⋅
gt
t
ϕ
v
;
g
t
ϕ
sin2
0
⋅
=
v
– время полета.
Найдем дальность полета, подставляя время полета в формулу для X
ϕ
ϕ
cos
sin2
0
0
⋅
⋅
=
g
X
v
v
;
g
X
ϕ
2sin
2
0
⋅
=
v
– горизонтальная дальность полета.
Найдем наибольшее значение функции
g
X
ϕ
ϕ
2sin
)(
2
0
⋅
=
v
при .
2
;0
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
π
ϕ
ϕϕ
2cos2)('
2
0
⋅⋅=
g
X
v
;
0)(' =
ϕ
X
;
02cos
=
ϕ
;
n
π
π
ϕ
+=
2
2
;
n
24
π
π
ϕ
+=
.
4
π
ϕ
=
– единственная критическая точка, принадлежащая интервалу .
2
;0
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
Найдем значение функции
)(
ϕ
X
на концах отрезка
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
2
;0
π
и в критиче-
ской точке
0)0( =X
;
g
X
2
0
)
4
(
v
=
π
; 0)
2
( =
π
X ;
g
XX
2
0
2
;0
)
4
()(max
v
==
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
π
ϕ
π
ϕ
.
Ответ: Чтобы тело упало как можно дальше, оно должно быть брошено под
углом 45° к горизонту.
Указание к задаче 5
Исследование функций с помощью производных высших порядков ос-
новано на следующих теоремах.
Теорема 4. (II достаточное условие экстремума). Если функция f(x) имеет
вторую производную f ''(x), и в некоторой точке х
0
выполнены условия
f '(x
0
)=0 и f ''(x
0
)
≠
0, то в этой точке функция f(x) имеет экстремум, а
именно, максимум при f ''(x
0
)<0 и минимум при f ''(x
0
)>0.
Теорема 5. (III достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) име-
ет в некотором интервале (х
0
–
δ
, х
0
+
δ
) производные f '(x),…, f
(n-1)
(x) и в точ-
ке х
0
производную f
(n)
(x
0
), причем f '(x
0
)=0, f ''(x
0
)=0,…, f
(n-1)
(x
0
)=0, f
(n)
(x
0
)
≠
0. В
таком случае,
1)
если n – четное число, то в точке x
0
функция f(x) имеет экстремум, а
именно, максимум при f
(n)
(x
0
)<0 и минимум при f
(n)
(x
0
)>0;

Страницы