Исследование функций. Коноплева И.В - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

13
2) если n – число нечетное, то в точке x
0
функция f(x) экстремума не име-
ет.
Теорема 6. (Достаточные условия вогнутости и выпуклости.) Если функ-
ция y=f(x) дважды дифференцируема на (a;b) и f ''(x
0
)>0 для всех х
∈
(a;b),
то график функции на этом интервале вогнутый. Если f ''(x
0
)<0 для всех
х
∈
(a;b), то график на этом интервале выпуклый.
Достаточное условие точки перегиба
Определение. Точки, в которых меняется направление вогнутости
графика функции, называются точками перегиба.
Теорема 7. Пусть в точке x
0
определена первая производная функции
y=f (x), f ''(x
0
)=0 или f ''(x
0
) не существует. Если f ''(x
0
) меняет свой знак при
переходе через x
0
, то x
0
– точка перегиба.
Задача 5.1
Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с по-
мощью производных высших порядков: );1ln(
2
1
2
xarctgxy +−= x
0
=1.
Решение.
1.
222
1
1
1
2
2
1
1
1
'
x
x
x
x
x
y
+
−
=
+
−
+
= , y'(1)=0;
2
2
22
2
'
2
1
12
)1(
)1(21
1
1
''
x
xx
x
xxx
x
x
y
+
−−
=
+
−−−−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
= ,
2
1
)1('' −=y ,
y'(1)=0, y''(1)≠0, причем y''(1)<0, следовательно, по теореме 4, x
0
=1 – точка
максимума;
2.
0
2
1
)1('' <−=y , y''(х) непрерывна на , следовательно, существует такая
окрестность точки x
0
=1, где y''(х)<0. В этой окрестности, по теореме 6, функ-
ция выпукла.
Задача 5.2
Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с по-
мощью производных высших порядков: y=(x–2)
5
; x
0
=2.
Решение.
1. у'(х)=5(х-2)
4
, у'(2)=0.
y''(х)=20(х-2)
3
, у''(2)=0.
y'''(х)=60(х-2)
2
, у'''(2)=0.
y
(IV)
(х)=120(х-2), у
(IV)
(2)=0.
y
(V)
(х)=120, у
(V)
(2)=120.

Страницы