Исследование функций. Коноплева И.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

14
у'(2) = у''(2) = у'''(2) = у
(IV)
(2) =0, у
(V)
(2) ≠ 0.
Производная пятого порядка отлична от 0 (порядок производной – не-
четное число), следовательно, по теореме 5 в точке x
0
=2 функция экстре-
мума не имеет;
2. у''(2)=0.
Исследуем знаки второй производной в промежутках (2–δ; 2), (2; 2+δ),
где δ>0. δ выбирают настолько малым, чтобы δ-окрестность точки x
0
=2 была
частью области определения, не включала бы точек разрыва и точек, отлич-
ных от x
0
=2, где f ''(x
0
)=0 либо не существует
0
2
5
)2
2
2(20)
2
2(''
33
<−=−−=−
δ
δ
δ
y ,
0
2
5
)2
2
2(20)
2
2(''
33
>=−+=+
δ
δ
δ
y .
Отсюда y''(х)<0 при х∈(2 – δ;2), y''(х)>0 при х∈(2;2+δ).
Следовательно, по теореме 7 х
0
=2 – точка перегиба функции. По тео-
реме 6, на (2– δ;2) функция выпукла, на (2;2+δ) функция вогнута.
Задача 5.3
Исследовать поведение функции в окрестности заданной точки с по-
мощью производных высших порядков: y=cos(x
2
) – 1; x
0
=0.
Решение.
1. y'(x)= – 2xsin(x
2
), y'(0)=0;
y''(x)= – 2 sin(x
2
) – 4x
2
cos(x
2
), y''(0)=0;
y'''(x)= – 4xcos(x
2
) – 8xcos(x
2
) + 8x
3
sin(x
2
)= –12xcos(x
2
)+8x
3
sin(x
2
); y'''(0)=0;
y
(IV)
(x)= – 12cos(x
2
)+24x
2
sin(x
2
)+24x
2
sin(x
2
)+16x
4
cos(x
2
); y
(IV)
(0)= – 12;
y'(0)= y''(0)= y'''(0)=0, y
(IV)
(0)= – 12.
Производная четвертого порядка отлична от 0 (порядок производной
n=4 – четное число), следовательно, по теореме 5, функция в точке x
0
=0 име-
ет экстремум. А именно, максимум, так как y
(IV)
(0)= – 12<0.
2. y''(0)=0. Исследуем знаки второй производной в промежутках (– δ;0), (0;δ),
где δ>0. Выберем δ настолько малым, чтобы промежуток (–δ;δ) не включал
точек, отличных от x
0
=0, где y''(х)=0.
0))
2
cos()
2
(2)
2
(sin(2)
2
('')
2
(''
222
<+−==−
δ
δ
δ
δ
δ
yy , y''(х)<0 при х∈(–δ;0) и
при х∈(0; δ).
Вторая производная функции не меняет знак при переходе через точку
x
0
=0, следовательно, x
0
=0 не является точкой перегиба (см. теорему 7). На
промежутке ( – δ; δ) график функции выпуклый (по теореме 6).

Страницы