Исследование функций. Коноплева И.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

15
Указание к задаче 6
Определение.
Если расстояние от точки М(х;у) кривой y=f(x) до некоторой
прямой L при неограниченном удалении точки М от начала координат
стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой y=f(x).
Различают вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты:
а) прямая
a
x
= является вертикальной асимптотой графика функции
)(xfy = , если выполняется хотя бы одно из условий
±∞=
+→
)(lim
0
xf
ax
или
±∞=
−→
)(lim
0
xf
ax
.
Вертикальные асимптоты проходят через точки бесконечного разрыва. Не-
прерывные функции вертикальных асимптот не имеют.
б) Если существуют конечные пределы
x
xf
k
x
)(
lim
+∞→
= и
),)((lim kxxfb
x
−
=
+∞→
то прямая
bkxy += является правой наклонной, а при 0=k – правой гори-
зонтальной асимптотой;
если существуют конечные пределы
x
xf
k
x
)(
lim
−∞→
= и
),)((lim kxxfb
x
−
=
−∞→
то прямая
bkxy += является левой наклонной, а при 0
=
k – левой горизон-
тальной асимптотой.
График однозначной функции
)(xfy
=
не может иметь более одной
правой (наклонной или горизонтальной) и более одно левой (наклонной или
горизонтальной) асимптоты.
Задача 6.1
Найти асимптоты и построить график функции
.
53
18
2
2
−
+
=
x
x
y
Решение.
Найдем область определения функции. Так как корень четной степени
определен только на множестве неотрицательных чисел, а знаменатель дроби
должен быть отличен от нуля, то
3х
2
–5>0, ,
3
5
2
>x ,
3
5
>x т. е. .;
3
5
3
5
;)(
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+∞
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∞−= UyD
1. Вертикальные асимптоты:
Точки разрыва данной функции – это точки, в которых знаменатель
дроби равен нулю, т. е.
3
5
−=x и
3
5
+=x . Проверим, проходят ли через
эти точки вертикальные асимптоты:

Страницы