Исследование функций. Коноплева И.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

18
Задача 6.2
Найти асимптоты и построить график функции
13
22
2
+
−−
=
x
xx
y .
Решение. Область определения функции
);
3
1
()
3
1
;()( +∞−−−∞=
UyD .
1. Вертикальные асимптоты:
3
1
−=x является точкой разрыва, т. к. в ней об-
ращается в ноль знаменатель дроби.
Т. к.
+∞=
+
−−
=
−<
−→−−→
13
22
lim)(lim
2
)
3
1
(
3
1
0
3
1
x
xx
xf
x
xx
и ,
13
22
lim)(lim
2
)
3
1
(
3
1
0
3
1
−∞=
+
−−
=
−>
−→+−→
x
xx
xf
x
xx
то
x =−
1
3
– вертикальная асимптота.
2. Горизонтальные и наклонные асимптоты:
3
1
3
lim
)13(
22
lim
)(
lim
2
22
==
∞
∞
=
+
−−
==
+∞→+∞→+∞→
x
x
xx
xx
x
xf
k
xxx
.
9
7
9
7
lim
39
67
lim
39
3663
lim
)(
313
22
lim))((lim
22
2
−=
−
=
∞
∞
=
+
−−
=
+
−−−−
=
∞−+∞=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−−
=−=
+∞→+∞→+∞→
+∞→+∞→
x
x
x
x
x
xxxx
x
x
xx
kxxfb
xxx
xx
Значит,
9
7
3
−=
x
y при
+∞→
x
является наклонной асимптотой.
Аналогично
,
3
1
3
lim
)13(
22
lim
)(
lim
2
22
==
∞
∞
=
+
−−
==
−∞→−∞→−∞→
x
x
xx
xx
x
xf
k
xxx
.
9
7
313
22
lim))((lim
2
−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−−
=−=
−∞→−∞→
x
x
xx
kxxfb
xx
Таким образом, прямая
9
7
3
−=
x
y
является наклонной асимптотой и при
x
→ – ∞ (левая и правая асимптоты совпадают).
Построим график функции. Найдем дополнительные точки. Точки пересече-
ния с осью абсцисс: у = 0;
;0
13
22
2
=
+
−−
x
xx
х
2
–2х–2 = 0, 7,031
1
−≈−=x ,
.7,231
2
≈+=x
Точки пересечения с осью ординат: х = 0, у(0) = – 2.

Страницы