Исследование функций. Коноплева И.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

20
На всей области определения функция непрерывна.
Граничные значения функции
,
)1(2
limlim
2
3
−∞=
+
=
−∞→−∞→
x
x
y
xx
.
)1(2
limlim
2
3
+∞=
+
=
+∞→+∞→
x
x
y
xx
2.
Асимптоты:
а) вертикальные асимптоты
,
)1(2
lim)(lim
2
3
101
)1(
−∞=
+
=
−<
−→−−→
x
x
xf
x
xx
,
)1(2
lim)(lim
2
3
101
)1(
−∞=
+
=
−>
−→+−→
x
x
xf
x
xx
следовательно, прямая
1−=
x
является вертикальной асимптотой;
б) наклонные и горизонтальные асимптоты
,
2
1
2
lim
)1(2
lim
)(
lim
3
3
2
3
==
∞
∞
=
+
==
±∞→±∞→±∞→
x
x
x
x
x
xf
k
xxx
.1
2
2
lim
)1(2
2
lim
)1(2
2
lim
2
)1(2
lim))((lim
2
2
2
2
2
233
2
3
−=
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞
∞
=
=
+
−−
=
+
−−−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
=−=
±∞→
±∞→±∞→±∞→±∞→
x
x
x
xx
x
xxxxx
x
x
kxxfb
x
xxxx
При ±∞→
x
прямая 1
2
−=
x
y является наклонной асимптотой.
3.
Область определения несимметрична относительно начала координат,
следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция не периодична.
4.
Точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства.
С осью Ох:
.0;0;0
)1(2
;0
3
2
3
===
+
= xx
x
x
y
Функция положительна при
0>
x
и отрицательна при 0<
x
.
5.
Промежутки убывания и возрастания функции, экстремумы.
Найдем первую производную функции
.
)1(2
)3(
)1(2
]233)[1(
)1(2
)1(2)1(3
'
3
2
4
2
4
322
+
+
=
+
−++
=
+
⋅+−+
=
x
xx
x
xxxx
x
xxxx
y
Найдем критические точки функции: y' = 0 при x
2
(x+3) = 0, т. е. х = 0 и
х = –3; y' не существует при х = –1, но эта точка является точкой разрыва.
Отметим точки на числовой прямой и исследуем знак первой производ-
ной при переходе через эти точки.

Страницы