Векторный анализ. Коноплева И.В - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

....
2121
...
nn
SSSSSS
KKKK ++=
UUU
Рассмотрим некоторые способы вычисления потока.
1. Пусть в уравнении поверхности S переменную z можно однозначно выра-
зить через x и y: ),( yxzz = , то есть любая прямая l , параллельная оси Oz, пере-
секает поверхность не более одного раза (см. рис. 2.4). Тогда
(
)
∫∫
′
−
′
−±=
D
yyxxz
dxdyyazaaK .
(2.3)
Здесь SprD
xoy
= , знак «+» берется в случае, когда вектор
n
составляет на S
острый угол с положительным направлением оси Oz (как на рис. 2.4), знак «–»,
если этот угол тупой. Кроме того, вместо переменной z в подынтегральном вы-
ражении следует подставить ),( yxz.
Аналогичные формулы имеют место в случае, когда уравнение поверхности
S записано в виде x = x(y ,z) (y = y( x ,z)).
z l γ
n
S
y
D=pr
xoy
S
x
Рис.2.4
2. Поток К можно представить в виде суммы поверхностных интегралов I–го
рода:
∫∫∫∫∫∫
++=
S
z
S
y
S
x
dSadSadSaK cos cos cos
γβα
,
где
γβα
cos ,cos ,cos – направляющие косинусы вектора нормали к S. Здесь ка-
ждый из трех интегралов вычисляется через двойной:
если в уравнении поверхности S z можно однозначно выразить через x и y :
),( yxzz = (см. рис. 2.4), то
.)),(.,( cos
∫∫ ∫∫
±=
S В
zz
dxdyyxzyxadSa
γ
(2.4)
Выбор знака здесь такой же, как и в формуле (2.3).
Аналогично вычисляются и два других интеграла:
.)),,(,( cos
;),),,(( cos
dxdzzzxyxadSa
dydzzyzyxadSa
D
y
S
y
D
x
S
x
∫∫∫∫
±=
∫∫∫∫
±=
β
α

Страницы