Векторный анализ. Коноплева И.В - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

Тогда
(
)
.
4
4
4
4
4
42
4
4
2222
2222
22
222
22
2
22
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
−−
=
−−
++−−
=
=
−−
−−+
+
−−
+−−=
=
′
−
′
⋅−=
DD
D
D
yyxzzS
yx
dxdy
dxdy
yx
yxyx
dxdy
yx
yxyy
yx
x
yx
dxdyzazaaK
Поскольку D (проекция S на плоскость xOy ) есть круг, то последний интеграл
удобно вычислить в полярных координатах (
πϕ
20 ≤≤ , 20 ≤≤ r ):
ππ
ππ
16
0
2
48
4
4
4
4
2
2
0
2
0
2
0
2
0
22
=−−=
−
=
−
=
∫∫ ∫∫
r
r
rdr
du
r
rdr
duK
S
.
Способ 2. Добавив к полусфере круг D, получим замкнутую поверхность
DS ∪ . Функции yzazyaxa
zyx
2 ,2 , −=+== непрерывны внутри DS ∪
вместе со своими частными производными. Поэтому поток через DS ∪ можно
найти по формуле Остроградского – Гаусса:
()()
.1633
22
∫∫∫
===
∫∫∫
∂
−∂
+
∂
+∂
+
∂
∂
=
VV
VdVdV
x
yz
y
zy
x
x
K
πµ
Здесь V
µ
– объем тела V , ограниченного DS ∪ .
Теперь найдем поток
D
K
через D (0=z на
D
). Поскольку в формуле
Остроградского – Гаусса нормаль к DS ∪ внешняя (см. рис. 2.8), то еди-
ничная нормаль
,)1;0;0( kn
D
−=−≡
() ( )
.0)]4()4[(
4
4
2
2
22)2(
)1)(2(0)2(0,
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
4
4
2
2
∫∫
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫∫
−−
−
−
−−
=−−−=
−−
−
=
===−=
=−−+⋅++⋅==
dxxx
x
dx
x
y
ydydxydsdszy
dsyzzyxdsnaK
DD
x
x
DD
DD
Интеграл
∫∫
D
ydxdy можно было не вычислять, т.к. равенство его нулю следует
из нечетности по y подынтегральной функции и симметричности круга D отно-
сительно оси Ox.
По свойству поверхностного интеграла
∫∫ ∫∫ ∫∫
∪
=−=−=−=
SDS
DS
D
nnn
KKKdSadSadSa .16016 ,
ππ
Ответ: .16
π
=
S
K

Страницы