Векторный анализ. Коноплева И.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

Пример (к задаче 4). Найти поток векторного поля a
через часть по-
верхности S, вырезаемую плоскостями
21
, PP
(нормаль внешняя к замкнутой
поверхности, образуемой данными поверхностями).
.4:,0:,1:,22
21
22
===++−= zPzPyxSkxyjyixa
z
z
4
S S
+
n
+
n
0 1 y 0 y
x x
Рис.2.9 Рис.2.10
Решение. Способ 1. Из условий следует, что требуется найти поток в
направлении внешней нормали через боковую поверхность цилиндра, которую
также обозначим через S, в направлении внешней нормали (см. рис. 2.9). Вос-
пользуемся формулами (2.4), (2.5). Заметим, что вектор нормали
n
перпенди-
кулярен оси Oz, поэтому 0 cos =
γ
и
∫∫
=
S
z
dSa 0 cos
γ
. Поверхность S симмет-
рична относительно плоскости yOz , выражение
α
cosx принимает равные зна-
чения в симметричных точках (поскольку x и
α
cos меняют знак при переходе
к симметричной точке). Поэтому
∫∫ ∫∫
+
=
SS
xz
dSadSa
αα
cos2cos
(см. рис. 2.10).
Переходя по формулам (2.5) от поверхностного интеграла к двойному и учиты-
вая, что
+
n
составляет острый угол с осью Ox, а уравнение
+
S
имеет вид
2
1 yx
−=
, получаем (см. формулу (2.5) и рис. 2.4)
.8
2
2
)2sin48()2cos1(8cos16
2
,
2
cos
sin
11614
141422cos
2
2
2
2
2
1
1
4
0
1
1
22
1
1
4
0
22
π
π
π
π
β
π
α
α
π
π
π
π
=
−
+=+==
=
=−=
=
=
=−=−=
=−=−==
∫∫
∫∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
−−
−−
−
ttdtttdt
tdtdy
ty
dyydzdyy
dzydydydzyxdydzdSa
SDD
x

Страницы