Maple в инженерных расчетах. Коптев А.А - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Для решения системы дифференциальных уравнений в частных производных, в качестве первых
двух параметров следует использовать множества или списки с уравнениями и искомыми функциями.
Типичной особенностью дифференциальных уравнений в частных производных и их систем явля-
ется то, что для однозначного определения частного решения здесь требуется задание не значений того
или иного конечного числа параметров, а некоторых функций. Найдем общее решением уравнения
2
2
2
2
),(),(
x
txu
t
txu
∂
∂
=
∂
∂
> PDE:=diff(u(x,t),t,t)= diff(u(x,t),x,x);
:= PDE =
∂
∂
2
t
2
()u,xt
∂
∂
2
x
2
()u,xt
> pdsolve(PDE,u(x,t));
= ()u,
x
t
+ ()
_
F1
+
t
x
()
_
F2
−
t
x
Таким образом, рассмотренное дифференциальное уравнение лишь в той мере ограничивает произ-
вол в выборе функций двух переменных u, что ее удается выразить через сумму двух функций _F1 и
_F2 от одного переменного, которые остаются произвольными, если не дано каких-либо дополнитель-
ных условий.
Если требуется найти решение в виде произведения функций, то следует использовать параметр
HINT = `*`.
> pdsolve(PDE,u(x,t),HINT=`*`);
()
=
()u,
x
t ()
_
F1
_
ξ1
()
_
F2
_
ξ2
&where
,{},
=
d
d
_ξ2
()
_
F2
_ξ2
_
c
2
=
2
d
d
_
ξ1
()
_
F1
_
ξ1
_
c
2
0
&and { },
= _ξ1 −
t
x
= _ξ2 +
x
2
t
2
При использовании параметра build – Maple попытается записать решение в явном виде.
> pdsolve(PDE,u(x,t),HINT=`*`, build);
= ()u,xt + +
1
2
_C1 _c
2
x
1
2
_C1 _c
2
t _C1 _C2
где _C1, _C2 и _c
2
– постоянные интегрирования, которые определяются из так называемых краевых
или начальных условий, позволяющих однозначно выделить интересующее решение. В то время как
краевые условия задаются исключительно на граничных точках области, где ищется решение, началь-
ные условия могут оказаться заданными на определенном множестве точек внутри области.
Пусть требуется найти функцию F(x, y), удовлетворяющую уравнению Лапласа
0
),(),(
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
y
yxF
x
yxF
, если известно, что на окружности
22
yx + =16 значения функции могут быть рас-
считаны по выражению
22
yx .
Учитывая, что граничные условия заданы на окружности, целесообразно решать задачу в полярных
координатах. Для преобразования дифференциального уравнения в полярную систему координат ис-
пользуем функцию PDEchangecoords из пакета Detools, а для преобразования граничных условий –
функция dchange из пакета PDEtools.
> PDE:=diff(F(x,y),x,x)+diff(F(x,y),y,y);
:= PDE +
∂
∂
2
x
2
()F,xy
∂
∂
2
y
2
()F,xy
> PDE:=DEtools[PDEchangecoords](PDE,[x,y],polar, [r,phi]);
:= PDE
+ +
∂
∂
r
()F,r φ r
∂
∂
2
r
2
()F,r φ r
2
∂
∂
2
φ
2
()F,r φ
r
2
> dp:={x = r*cos(phi), y = r*sin(phi)};

Страницы