Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Рассматривая межэлектронное взаимодействие как возмущение,
определим поправку к энергии системы в нулевом приближении с по-
мощью стационарной теории возмущений. В первом порядке теории
возмущений имеем:
∆E
1s
2
= Q
0
= e
2
hΨ
1s
2
|r
−1
12
|Ψ
1s
2
i =
= e
2
ZZ
|ψ
1s
(r
1
)|
2
r
−1
12
|ψ
1s
(r
2
)|
2
d
3
r
1
d
3
r
2
. (2.35)
(Оператор (2.22) не действует на спиновые переменные, и поэтому спи-
новый множитель дает единицу в силу условия нормировки: S
†
S = 1).
Как следует из явного вида поправки (2.35), последняя определяется
энергией электростатического (кулоновского) взаимодействия между
зарядами, распределенными в пространстве с плотностью e|ψ
1s
(r)|
2
.
Вычисление интеграла в (2.35) рекомендуется выполнить на прак-
тическом занятии (см. [2]). Приводим окончательный результат:
Q
0
=
5
8
ZE
a
,
E
1s
2
= −E
a
Z
2
−
5
8
Z
. (2.36)
Таким образом, учет кулоновского взаимодействия «приподнимает»
энергетический уровень основного состояния, что связано с кулонов-
ским отталкиванием электронов. С ростом Z эффективное расстояние
между электронами уменьшается, поскольку они сильнее притягива-
ются к ядру, поэтому энергия кулоновского отталкивания между ни-
ми возрастает, причем линейно по Z. В то же время невозмущенная
энергия связи пропорциональна Z
2
, так что относительный вклад ку-
лоновского отталкивания с ростом Z уменьшается, обеспечивая по-
вышение точности результата теории возмущений. Значительно точнее
оказываются результаты, полученные вариационным методом (также
рекомендуется выполнить на практическом занятии — см. [2]):
E
1s
2
= −E
a
Z −
5
16
2
= −E
a
(Z
∗
)
2
, (2.37)
где Z
∗
= Z −
5
16
— эффективный заряд ядра. Отметим, что вариаци-
онная волновая функция по форме совпадает с выражением (2.33) с
той лишь разницей, что Z → Z
∗
. В этом случае введенный эффектив-
ный заряд означает, что каждый электрон частично экранирует ядро
от другого электрона.
40
   Рассматривая межэлектронное взаимодействие как возмущение,
определим поправку к энергии системы в нулевом приближении с по-
мощью стационарной теории возмущений. В первом порядке теории
возмущений имеем:

                           −1
  ∆E1s2 = Q0 = e2 hΨ1s2 | r12 |Ψ1s2 i =
                            ZZ
                                               −1
                     = e2       |ψ1s (r 1 )|2 r12 |ψ1s (r 2 )|2 d3 r1 d3 r2 .   (2.35)

(Оператор (2.22) не действует на спиновые переменные, и поэтому спи-
новый множитель дает единицу в силу условия нормировки: S † S = 1).
Как следует из явного вида поправки (2.35), последняя определяется
энергией электростатического (кулоновского) взаимодействия между
зарядами, распределенными в пространстве с плотностью e|ψ1s (r)|2 .
   Вычисление интеграла в (2.35) рекомендуется выполнить на прак-
тическом занятии (см. [2]). Приводим окончательный результат:
                                          5
                                   Q0 =     ZEa ,
                                          8
                                                
                                               5
                                               2
                            E1s2 = −Ea      Z − Z .                             (2.36)
                                               8

Таким образом, учет кулоновского взаимодействия «приподнимает»
энергетический уровень основного состояния, что связано с кулонов-
ским отталкиванием электронов. С ростом Z эффективное расстояние
между электронами уменьшается, поскольку они сильнее притягива-
ются к ядру, поэтому энергия кулоновского отталкивания между ни-
ми возрастает, причем линейно по Z. В то же время невозмущенная
энергия связи пропорциональна Z 2 , так что относительный вклад ку-
лоновского отталкивания с ростом Z уменьшается, обеспечивая по-
вышение точности результата теории возмущений. Значительно точнее
оказываются результаты, полученные вариационным методом (также
рекомендуется выполнить на практическом занятии — см. [2]):
                                              2
                                          5
                     E1s2 = −Ea        Z−           = −Ea (Z ∗ )2 ,             (2.37)
                                          16
               5
где Z ∗ = Z − 16 — эффективный заряд ядра. Отметим, что вариаци-
онная волновая функция по форме совпадает с выражением (2.33) с
той лишь разницей, что Z → Z ∗ . В этом случае введенный эффектив-
ный заряд означает, что каждый электрон частично экранирует ядро
от другого электрона.



                                          40

Страницы