Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 78 стр.

Введем далее матрицу с элементами
                                                  X                 (i)
                              ρ n0 n =                Wi a(i)∗
                                                          n a n0 ,                     (4.7)
                                                  i

тогда равенство (4.6) можно в соответствии с правилом перемножения
матриц записать более кратко:

                       X                                  X
              hF i =          F   n n0   ρ   n0   n   =        (F̂ ρ̂)nn = Sp(F̂ ρ̂)   (4.8)
                       n n0                                n


Квадратная матрица ρn0 n называется матрицей плотности (или ста-
тистическим оператором ρ̂). Матрица плотности впервые была введе-
на в квантовую теорию Л.Д. Ландау и независимо Й. фон Нейманом.
   Зная матрицу плотности ρ̂, можно вычислить среднее значение лю-
бой физической величины, характеризующей систему. Следовательно,
смешанное состояние системы может быть полностью описано с по-
мощью матрицы плотности ρ̂.

4.2.   Свойства матрицы плотности
   Равенство (4.8) можно рассматривать как определение матрицы
плотности. Оно позволяет путем измерения средних значений некото-
рых величин в смешанном состоянии найти матрицу плотности данного
состояния, т. е. определить все (вообще говоря, комплексные) элемен-
ты этой матрицы. Размерность матрицы плотности соответствует чис-
лу независимых состояний, используемых для характеристики чистого
состояния в (4.3). В некоторых случаях это число может быть и бес-
конечным. Состояние поляризации электронов характеризуется двумя
спиновыми функциями, следовательно, число строк (столбцов) в мат-
рице будет N = 2. В частности, в случае естественной поляризации
матрица плотности диагональна и имеет вид:
                                         !
                                1   1 0
                           ρ̂ =            .
                                2   0 1

   Комплексная матрица размерности N × N состоит из N 2 комплекс-
ных элементов. Однако не все они независимы. Из условия веществен-
ности средних значений (4.8) следует самосопряженность матрицы
плотности:
                    ρn n0 = ρ∗n0 n , или ρ̂ = ρ̂† .           (4.9)


                                                      78