Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Требование, чтобы единичный оператор давал среднее значение,
равное 1, приводит к условию нормировки матрицы плотности:
Sp ˆρ = 1. (4.10)
Условие эрмитовости (4.9) сводит N
2
комплексных элементов ρ
n n
0
к
N
2
независимым вещественным параметрам. Условие (4.10) уменьшает
число независимых вещественных параметров до N
2
− 1 (проверить
самостоятельно!). В частности, при N = 2 матрица плотности будет
иметь общую структуру вида:
ˆρ =
a b + ic
b − ic 1 − a
!
,
где a, b, c — вещественные параметры; 0 6 a 6 1. Например, состояние
поляризации электронов полностью определяется заданием всех трех
компонент вектора поляризации P .
Чистые состояния являются частным случаем смешанных. Для чи-
стых состояний в сумме (4.2) сохранится только одно слагаемое (напри-
мер, i-е) и тогда
hF i = hF
(i)
i =
X
n n
0
a
(i)∗
n
a
(i)
n
0
F
n n
0
.
С учетом нормировки коэффициентов {a
(i)
n
} (см. (4.3) получаем:
ˆρ
2
= ˆρ. (4.11)
Это равенство является критерием «чистоты» рассматриваемого со-
стояния квантовой системы.
4.3. Уравнение движения для матрицы плотности
Как известно, зависимость волновой функции Ψ
(i)
от времени опре-
деляется временным уравнением Шредингера
i}
∂Ψ
(i)
∂t
=
ˆ
HΨ
(i)
, (4.12)
где
ˆ
H — гамильтониан квантовой системы. Получим аналог уравнения
(4.12) для матрицы плотности, описывающий ее эволюцию во времени.
79
   Требование, чтобы единичный оператор давал среднее значение,
равное 1, приводит к условию нормировки матрицы плотности:

                                  Sp ρ̂ = 1.                      (4.10)

    Условие эрмитовости (4.9) сводит N 2 комплексных элементов ρn n0 к
N 2 независимым вещественным параметрам. Условие (4.10) уменьшает
число независимых вещественных параметров до N 2 − 1 (проверить
самостоятельно!). В частности, при N = 2 матрица плотности будет
иметь общую структуру вида:
                                             !
                                 a    b + ic
                       ρ̂ =                    ,
                               b − ic 1 − a

где a, b, c — вещественные параметры; 0 6 a 6 1. Например, состояние
поляризации электронов полностью определяется заданием всех трех
компонент вектора поляризации P.
   Чистые состояния являются частным случаем смешанных. Для чи-
стых состояний в сумме (4.2) сохранится только одно слагаемое (напри-
мер, i-е) и тогда
                                       X                (i)
                   hF i = hF (i) i =          a(i)∗
                                               n a n0 F n n 0 .
                                       n n0

                                                  (i)
С учетом нормировки коэффициентов {an } (см. (4.3) получаем:

                                   ρ̂2 = ρ̂.                      (4.11)

Это равенство является критерием «чистоты» рассматриваемого со-
стояния квантовой системы.

4.3.   Уравнение движения для матрицы плотности
   Как известно, зависимость волновой функции Ψ(i) от времени опре-
деляется временным уравнением Шредингера

                                ∂Ψ(i)
                           i}         = ĤΨ(i) ,                  (4.12)
                                 ∂t

где Ĥ — гамильтониан квантовой системы. Получим аналог уравнения
(4.12) для матрицы плотности, описывающий ее эволюцию во времени.



                                       79

Страницы