Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 80 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Согласно (4.7), элементы матрицы плотности определяются
формулой
ρ
n
0
n
(t) =
X
i
W
i
a
(i)∗
n
(t)a
(i)
n
0
(t). (4.13)
При этом зависимость от времени входит только через коэффициенты
{a
(i)
n
(t)}. Из (4.13) следует, что
∂
∂t
ρ
n
0
n
(t) =
X
i
W
i
"
∂a
(i)∗
n
∂t
a
(i)
n
0
(t) + a
(i)∗
n
(t)
∂a
(i)
n
0
∂t
#
. (4.14)
Для определения производных
∂a
(i)
n
∂t
подставим разложение
Ψ
(i)
(ξ, t) =
X
n
0
a
(i)
n
0
(t)ψ
n
0
(ξ)
в уравнение Шредингера (4.12). Проецируя затем его на ψ
m
(ξ), прихо-
дим к системе уравнений для коэффициентов a
(i)
m
:
i}
∂a
(i)
m
∂t
=
X
n
hm|
ˆ
H |nia
(i)
n
(t), (4.15)
где hm|
ˆ
H |ni ≡
R
ψ
∗
m
(ξ)
ˆ
Hψ
n
(ξ) dξ. Подставляя (4.15) в (4.14), учиты-
вая (4.13) и эрмитовость матрицы hm|
ˆ
H |ni, получаем уравнение для
ρ
n
0
n
(t):
i}
∂
∂t
ρ
n
0
n
(t) =
X
l
[hn
0
|
ˆ
H|liρ
ln
− ρ
n
0
l
hl|
ˆ
H|ni]. (4.16)
Его можно переписать в операторном виде:
i}
∂ ˆρ
∂t
= [
ˆ
H, ˆρ].
(4.17)
Уравнения (4.16), (4.17) решают поставленную задачу, так как они поз-
воляют определять матрицу плотности для любого момента времени,
если она известна в какой-либо начальный момент времени.
Уравнение (4.17) иногда называют квантовым уравнением Лиувил-
ля, так как оно соответствует уравнению Лиувилля для классической
функции распределения в статической физике. Если гамильтониан не
зависит явно от времени, то из (4.17) следует:
ˆρ(t) = exp
−
i
}
ˆ
Ht
. (4.18)
80
  Согласно (4.7), элементы матрицы плотности               определяются
формулой
                              X           (i)
                  ρn0 n (t) =   Wi a(i)∗
                                    n (t)an0 (t).                   (4.13)
                                      i

При этом зависимость от времени входит только через коэффициенты
  (i)
{an (t)}. Из (4.13) следует, что
                                "                               #
                           X        (i)∗                    (i)
            ∂                     ∂an     (i)             ∂an0
               ρn0 n (t) =   Wi          an0 (t) + a(i)∗
                                                    n (t)         . (4.14)
            ∂t             i
                                   ∂t                      ∂t

                                          (i)
                                ∂an
Для определения производных          подставим разложение
                                  ∂t
                                  X (i)
                    Ψ(i) (ξ, t) =    an0 (t)ψn0 (ξ)
                                          n0

в уравнение Шредингера (4.12). Проецируя затем его на ψm (ξ), прихо-
                                             (i)
дим к системе уравнений для коэффициентов am :
                          (i)
                        ∂am   X
                     i}     =   hm| Ĥ |ni a(i)
                                            n (t),                  (4.15)
                         ∂t   n
                 R ∗
где hm| Ĥ |ni ≡ ψm   (ξ)Ĥψn (ξ) dξ. Подставляя (4.15) в (4.14), учиты-
вая (4.13) и эрмитовость матрицы hm| Ĥ |ni, получаем уравнение для
ρn0 n (t):
                 ∂            X
               i} ρn0 n (t) =    [hn0 |Ĥ|liρln − ρn0 l hl|Ĥ|ni]. (4.16)
                 ∂t
                                 l
Его можно переписать в операторном виде:

                                     ∂ ρ̂
                                i}        = [Ĥ, ρ̂].               (4.17)
                                     ∂t

Уравнения (4.16), (4.17) решают поставленную задачу, так как они поз-
воляют определять матрицу плотности для любого момента времени,
если она известна в какой-либо начальный момент времени.
   Уравнение (4.17) иногда называют квантовым уравнением Лиувил-
ля, так как оно соответствует уравнению Лиувилля для классической
функции распределения в статической физике. Если гамильтониан не
зависит явно от времени, то из (4.17) следует:
                                          
                                       i
                          ρ̂(t) = exp − Ĥt .                  (4.18)
                                       }

                                          80

Страницы