Квантовая теория. Часть 3. Копытин И.В - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Предлагаем сравнить (4.18) с оператором эволюции квантовой системы
во времени в представлении Шредингера.
Если же и
ˆ
f =
ˆ
H, то матричные элементы hm|
ˆ
H|ni имеют особенно
простой вид:
hm|
ˆ
H |ni = E
n
δ
mn
, (4.19)
где {E
n
} — энергии стационарных состояний квантовой системы. Под-
ставляя (4.19) в (4.16), находим для этого случая:
i}
∂
∂t
ρ
n
0
n
(t) = (E
n
0
− E
n
)ρ
n
0
n
(t). (4.20)
Уравнение (4.20) легко интегрируется. Если в момент t = 0 элементы
матрицы плотности ρ
n
0
n
(0) заданы, то
ρ
n
0
n
(t) = ρ
n
0
n
(0) exp
i
}
(E
n
− E
n
0
)t
.
Таким образом, в базисе стационарного гамильтониана элементы
матрицы плотности с течением времени изменяются по гармони-
ческому закону. Частота колебаний определяется разностью энергий
состояний |ni и |n
0
i, относительно которых вычисляется матричный
элемент оператора ˆρ.
4.4. Матрица плотности для подсистемы
Выше мы рассматривали матрицу плотности для состояний поля-
ризации или описания других характеристик системы с конечным чис-
лом собственных функций некоторого оператора. В более общем случае
матрица плотности описывает состояние подсистемы, являющейся
частью некоторой большой системы.
Понятие «изолированная система» является идеализацией. Все ре-
альные системы являются частью (подсистемами) больших замкнутых
систем, и состояния таких подсистем описываются матрицей плотно-
сти
2
. Покажем это на примере изолированной системы, состоящей из
двух подсистем «ξ» и «x». Буквами ξ и x здесь и далее обозначают-
ся полные наборы координат (включая спиновые переменные) соот-
ветствующих подсистем. Предполагается, что полная система изоли-
рована, поэтому ее состояние описывается волновой функцией Ψ(ξ, x).
Функцию Ψ(ξ, x) нельзя факторизовать при наличии взаимодействия
2
Поскольку им в принципе невозможно сопоставить определенную волновую
функцию, вследствие неконтролируемого (хотя и слабого) воздействия со стороны
других подсистем изолированной системы.
81
Предлагаем сравнить (4.18) с оператором эволюции квантовой системы
во времени в представлении Шредингера.
   Если же и fˆ = Ĥ, то матричные элементы hm|Ĥ|ni имеют особенно
простой вид:
                          hm| Ĥ |ni = En δmn ,               (4.19)
где {En } — энергии стационарных состояний квантовой системы. Под-
ставляя (4.19) в (4.16), находим для этого случая:

                         ∂
                    i}      ρn0 n (t) = (En0 − En )ρn0 n (t).          (4.20)
                         ∂t
Уравнение (4.20) легко интегрируется. Если в момент t = 0 элементы
матрицы плотности ρn0 n (0) заданы, то
                                                        
                                           i
               ρn0 n (t) = ρn0 n (0) exp     (En − En0 )t .
                                           }

Таким образом, в базисе стационарного гамильтониана элементы
матрицы плотности с течением времени изменяются по гармони-
ческому закону. Частота колебаний определяется разностью энергий
состояний |ni и |n0 i, относительно которых вычисляется матричный
элемент оператора ρ̂.

4.4.    Матрица плотности для подсистемы
   Выше мы рассматривали матрицу плотности для состояний поля-
ризации или описания других характеристик системы с конечным чис-
лом собственных функций некоторого оператора. В более общем случае
матрица плотности описывает состояние подсистемы, являющейся
частью некоторой большой системы.
   Понятие «изолированная система» является идеализацией. Все ре-
альные системы являются частью (подсистемами) больших замкнутых
систем, и состояния таких подсистем описываются матрицей плотно-
сти 2 . Покажем это на примере изолированной системы, состоящей из
двух подсистем «ξ» и «x». Буквами ξ и x здесь и далее обозначают-
ся полные наборы координат (включая спиновые переменные) соот-
ветствующих подсистем. Предполагается, что полная система изоли-
рована, поэтому ее состояние описывается волновой функцией Ψ(ξ, x).
Функцию Ψ(ξ, x) нельзя факторизовать при наличии взаимодействия
  2 Поскольку им в принципе невозможно сопоставить определенную волновую
функцию, вследствие неконтролируемого (хотя и слабого) воздействия со стороны
других подсистем изолированной системы.



                                        81

Страницы