Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

16
модуля Ψ) наряду с |Ψ
1
|
2
и |Ψ
2
|
2
содержит и «интерференционное» сла-
гаемое Re(c
1
c
∗
2
Ψ
1
Ψ
∗
2
).
Из принципа суперпозиции следу-
Рис. 1.3.
ет, в частности, что уравнение для
волновой функции должно быть ли-
нейным, а также парадоксальный с
точки зрения классической механики
факт, что физические величины, име-
ющие определенные значения в состо-
яниях Ψ
1
и Ψ
2
, могут не иметь опреде-
ленного значения в состоянии Ψ (кото-
рое также является физически реали-
зуемым состоянием системы!). В каче-
стве примера снова рассмотрим волну де-Бройля (1.4), которая соответ-
ствует состоянию с определенными значениями импульса p и энергии
E. Рассмотрим теперь суперпозицию двух волн де-Бройля с одной и
той же энергией (для простоты) и различными по направлению им-
пульсами p
1
и p
2
(модули которых одинаковы):
Ψ(r) = C
1
e
ip
1
r/}
+ C
2
e
ip
2
r/}
(1.14)
(временной множитель опущен). При p
1
6= p
2
функцию (1.14) невоз-
можно привести к виду (1.4), т.е. состоянию, являющемуся суперпо-
зицией волн де-Бройля, нельзя приписать определенное значение им-
пульса.
1.4. Нормировка волн де-Бройля
Как уже говорилось, волну де-Бройля (1.4) невозможно нормиро-
вать условием (1.8), поскольку |Ψ
p
(r, t)|
2
= |C|
2
= const и интеграл
(1.8) по всему пространству расходится. Эта расходимость физиче-
ски обусловлена тем, что в состояниях (1.4) все положения частицы
равновероятны.
Для нахождения C воспользуемся следующим приемом. Искус-
ственно ограничим область движения частицы большим объемом в
форме куба, длина ребра которого L, так что интегрирование будет
вестись по ограниченному объему V = L
3
. Введем декартовы коорди-
наты, оси которых совпадают с ребрами куба (рис. 1.3). При больших
L (по сравнению с длиной де-Бройлевской волны λ) влиянием стенок
куба на движение частицы можно пренебречь. Поэтому для простоты
                                  16


модуля Ψ) наряду с |Ψ1 |2 и |Ψ2 |2 содержит и «интерференционное» сла-
гаемое Re(c1 c∗2 Ψ1 Ψ∗2 ).
    Из принципа суперпозиции следу-
ет, в частности, что уравнение для
волновой функции должно быть ли-
нейным, а также парадоксальный с
точки зрения классической механики
факт, что физические величины, име-
ющие определенные значения в состо-
яниях Ψ1 и Ψ2 , могут не иметь опреде-
ленного значения в состоянии Ψ (кото-
рое также является физически реали-
зуемым состоянием системы!). В каче-                Рис. 1.3.
стве примера снова рассмотрим волну де-Бройля (1.4), которая соответ-
ствует состоянию с определенными значениями импульса p и энергии
E. Рассмотрим теперь суперпозицию двух волн де-Бройля с одной и
той же энергией (для простоты) и различными по направлению им-
пульсами p1 и p2 (модули которых одинаковы):

                    Ψ(r) = C1 eip1 r/} + C2 eip2 r/}            (1.14)

(временной множитель опущен). При p1 6= p2 функцию (1.14) невоз-
можно привести к виду (1.4), т.е. состоянию, являющемуся суперпо-
зицией волн де-Бройля, нельзя приписать определенное значение им-
пульса.

1.4.   Нормировка волн де-Бройля
    Как уже говорилось, волну де-Бройля (1.4) невозможно нормиро-
вать условием (1.8), поскольку |Ψp (r, t)|2 = |C|2 = const и интеграл
(1.8) по всему пространству расходится. Эта расходимость физиче-
ски обусловлена тем, что в состояниях (1.4) все положения частицы
равновероятны.
    Для нахождения C воспользуемся следующим приемом. Искус-
ственно ограничим область движения частицы большим объемом в
форме куба, длина ребра которого L, так что интегрирование будет
вестись по ограниченному объему V = L3 . Введем декартовы коорди-
наты, оси которых совпадают с ребрами куба (рис. 1.3). При больших
L (по сравнению с длиной де-Бройлевской волны λ) влиянием стенок
куба на движение частицы можно пренебречь. Поэтому для простоты

Страницы