Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

18
интегрирование ведется внутри куба с ребром L. Введено стандартное
обозначение для δ-функции Дирака (см. Приложение А.).
Пусть теперь частица в момент времени t = 0 находится в состоянии
с волновой функцией Ψ(r), удовлетворяющей периодическим гранич-
ным условиям (1.15) и, подобно волне дe-Бройля (1.19), нормированной
на единицу внутри большого куба с ребром L. Тогда Ψ(r) можно раз-
ложить в ряд Фурье по волнам де-Бройля (1.19):
Ψ(r) =
X
k
c
k
Ψ
k
(r) =
1
√
V
X
k
c
k
e
ikr
. (1.22)
Коэффициенты разложения c
k
находятся домножением (1.22) на Ψ
∗
k
0
(r)
и интегрированием по объему куба в соответствии с условием ортого-
нальности (1.20):
c
k
=
Z
(V )
Ψ
∗
k
(r)Ψ(r) d
3
r =
1
√
V
Z
(V )
e
−ikr
Ψ(r) d
3
r. (1.23)
Таким образом, волновую функцию произвольного состояния микро-
частицы можно представить в виде суперпозиции волн де-Бройля.
1.5. Средние значения координаты и импульса
Вновь рассмотрим частицу в произвольном состоянии Ψ(r) (внутри
большого куба). Поставим задачу вычисления среднего значения неко-
торых заданных функций координаты F
1
(r) и импульса F
2
(p) в этом
состоянии.
Среднее значение координаты
Вычислим вначале среднее значение координаты hri в состоянии
с волновой функцией Ψ(r). В соответствии с (1.7), плотность вероят-
ности различных значений координаты w(r) дается квадратом моду-
ля волновой функции. Поэтому, пользуясь теоремой о математическом
ожидании, получаем:
hri =
Z
(V )
rw(r) d
3
r
(1.7)
=
Z
(V )
Ψ
∗
(r) rΨ(r) d
3
r. (1.24)
Ниже мы разъясним причину не вполне привычной записи правой ча-
сти (1.24).
                                            18


интегрирование ведется внутри куба с ребром L. Введено стандартное
обозначение для δ-функции Дирака (см. Приложение А.).
   Пусть теперь частица в момент времени t = 0 находится в состоянии
с волновой функцией Ψ(r), удовлетворяющей периодическим гранич-
ным условиям (1.15) и, подобно волне дe-Бройля (1.19), нормированной
на единицу внутри большого куба с ребром L. Тогда Ψ(r) можно раз-
ложить в ряд Фурье по волнам де-Бройля (1.19):
                                 X                 1 X
                 Ψ(r) =               ck Ψk (r) = √     ck eikr .              (1.22)
                                  k
                                                    V k

Коэффициенты разложения ck находятся домножением (1.22) на Ψ∗k0 (r)
и интегрированием по объему куба в соответствии с условием ортого-
нальности (1.20):
             Z                            Z
                                        1
        ck =        Ψ∗k (r)Ψ(r) d3 r = √        e−ikr Ψ(r) d3 r. (1.23)
               (V )                      V (V )

Таким образом, волновую функцию произвольного состояния микро-
частицы можно представить в виде суперпозиции волн де-Бройля.

1.5.   Средние значения координаты и импульса
   Вновь рассмотрим частицу в произвольном состоянии Ψ(r) (внутри
большого куба). Поставим задачу вычисления среднего значения неко-
торых заданных функций координаты F1 (r) и импульса F2 (p) в этом
состоянии.

Среднее значение координаты
   Вычислим вначале среднее значение координаты hri в состоянии
с волновой функцией Ψ(r). В соответствии с (1.7), плотность вероят-
ности различных значений координаты w(r) дается квадратом моду-
ля волновой функции. Поэтому, пользуясь теоремой о математическом
ожидании, получаем:
                     Z                             Z
                                           (1.7)
             hri =              rw(r) d3 r =              Ψ∗ (r) rΨ(r) d3 r.   (1.24)
                         (V )                      (V )


Ниже мы разъясним причину не вполне привычной записи правой ча-
сти (1.24).

Страницы