Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
подчиним (1.4) периодическим граничным условиям:
Ψ
p
(x, y, z) = Ψ
p
(x + L, y, z) = Ψ
p
(x, y + L, z) = Ψ
p
(x, y, z + L) (1.15)
(время t в аргументе для простоты опускаем, поскольку временной мно-
житель в (1.15) сокращается).
Введем вместо импульса волновой вектор
k = p/} (1.16)
и перепишем Ψ
p
(x, y, z) в (1.15) в виде
Ψ
k
(r) = C e
ikr
= C e
i(k
x
x+k
y
y+k
z
z)
. (1.17)
Вследствие условия (1.15), вектор k в (1.17) может принимать лишь
дискретные значения:
k = {k
x
, k
y
, k
z
} =
2π
L
{n
x
, n
y
, n
z
}, n
x
, n
y
, n
z
= 0, ±1, . . . (1.18)
Таким образом, при движении в ограниченном объеме импульс волны
де-Бройля квантуется. Легко заметить, однако, что при неограничен-
ном увеличении объема квантования (т.е. при L → ∞) эта дискрет-
ность исчезает.
В ограниченном объеме нормировочная константа C вычисляется
из условия (1.8), так что нормированная на единицу в объеме V волна
де-Бройля выглядит следующим образом:
Ψ
k
(r) =
1
√
V
e
ikr
. (1.19)
Ее размерность удовлетворяет условию (1.9).
Система функций (1.19) обладает свойствами ортогональности
Z
(V )
Ψ
∗
k
0
(r)Ψ
k
(r) d
3
r =
1
V
Z
(V )
e
i(k−k
0
)r
d
3
r = δ
k
0
k
≡ δ
n
0
x
n
x
δ
n
0
y
n
y
δ
n
0
z
n
z
(1.20)
и полноты
X
k
Ψ
∗
k
(r
0
)Ψ
k
(r) =
1
V
X
k
e
ik(r−r
0
)
= δ(r − r
0
). (1.21)
Векторы k,k
0
выбираются в соответствии с (1.18):
X
k
(. . .) ≡
+∞
X
n
x
=−∞
+∞
X
n
y
=−∞
+∞
X
n
z
=−∞
(. . .);
                                          17


подчиним (1.4) периодическим граничным условиям:
  Ψp (x, y, z) = Ψp (x + L, y, z) = Ψp (x, y + L, z) = Ψp (x, y, z + L) (1.15)
(время t в аргументе для простоты опускаем, поскольку временной мно-
житель в (1.15) сокращается).
   Введем вместо импульса волновой вектор
                                      k = p/}                                   (1.16)
и перепишем Ψp (x, y, z) в (1.15) в виде

                      Ψk (r) = C eikr = C ei(kx x+ky y+kz z) .                  (1.17)
Вследствие условия (1.15), вектор k в (1.17) может принимать лишь
дискретные значения:
                      2π
    k = {kx , ky , kz } ={nx , ny , nz }, nx , ny , nz = 0, ±1, . . . (1.18)
                       L
Таким образом, при движении в ограниченном объеме импульс волны
де-Бройля квантуется. Легко заметить, однако, что при неограничен-
ном увеличении объема квантования (т.е. при L → ∞) эта дискрет-
ность исчезает.
   В ограниченном объеме нормировочная константа C вычисляется
из условия (1.8), так что нормированная на единицу в объеме V волна
де-Бройля выглядит следующим образом:
                                          1
                                Ψk (r) = √ eikr .                               (1.19)
                                           V
Ее размерность удовлетворяет условию (1.9).
   Система функций (1.19) обладает свойствами ортогональности
  Z                               Z
         ∗              3       1           0
        Ψk0 (r)Ψk (r) d r =           ei(k−k )r d3 r = δk0 k ≡ δn0x nx δn0y ny δn0z nz
   (V )                        V (V )
                                                                                 (1.20)
и полноты
               X                      1 X ik(r−r0 )
                   Ψ∗k (r 0 )Ψk (r) =       e          = δ(r − r 0 ).            (1.21)
                                      V
                 k                         k

Векторы k,k0 выбираются в соответствии с (1.18):
                     X              +∞
                                    X          +∞
                                               X     +∞
                                                     X
                      (. . .) ≡                            (. . .);
                       k          nx =−∞ ny =−∞ nz =−∞

Страницы