Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
Любое произведение декартовых компонент r также усредняется в
соответствии с (1.24):
hx
n
x
y
n
y
z
n
z
i =
Z
(V )
x
n
x
y
n
y
z
n
z
w(r) d
3
r
(1.7)
=
Z
(V )
Ψ
∗
(r) x
n
x
y
n
y
z
n
z
Ψ(r) d
3
r.
(n
x
, n
y
, n
z
— произвольные числа). Поэтому после разложения функ-
ции F
1
(r) в ряд Тейлора мы приходим к следующей формуле:
hF
1
(r)i =
Z
(V )
Ψ
∗
(r)F
1
(r)Ψ(r) d
3
r. (1.25)
Среднее значение импульса
Среднее значение импульса в состоянии Ψ(r) невозможно вычис-
лить по формуле (1.24) с простой заменой r → p, поскольку нам пока
неизвестно распределение импульсов в данном состоянии. Чтобы по-
лучить его, воспользуемся разложением (1.22), а также нормированно-
стью Ψ(r) в объеме (V ) и ортогональностью волн де-Бройля (1.20):
Z
(V )
|Ψ(r)|
2
d
3
r = 1 =
X
k
0
k
c
∗
k
0
c
k
Z
(V )
Ψ
∗
k
0
(r)Ψ
k
(r) d
3
r
| {z }
δ
k
0
k
=
X
k
|c
k
|
2
.
Полученное соотношение
X
k
|c
k
|
2
|{z}
w
k
=
X
k
w
k
= 1
похоже на условие нормировки в теории вероятностей. Поэтому по ана-
логии с |Ψ(r)|
2
величине w
k
можно придать смысл вероятности об-
наружения значения импульса p = }k в состоянии Ψ(r) (в данном
случае распределение по импульсам получается дискретным в отличие
от непрерывного распределения по координатам).
Подобно координате среднее значение импульса вычисляем по тео-
реме о математическом ожидании с распределением w
k
. Для нахожде-
ния c
k
воспользуемся (1.23):
hpi = }
X
k
kw
k
= }
X
k
k c
∗
k
c
k
= }
X
k
ZZ
Ψ
∗
(r)Ψ
k
(r)Ψ(r
0
)k Ψ
∗
k
(r
0
) d
3
r d
3
r
0
.
                                              19


   Любое произведение декартовых компонент r также усредняется в
соответствии с (1.24):
              Z                        Z
  nx ny nz          nx ny nz   3 (1.7)
hx y z i =         x y z w(r) d r =      Ψ∗ (r) xnx y ny z nz Ψ(r) d3 r.
                 (V )                                        (V )

(nx , ny , nz — произвольные числа). Поэтому после разложения функ-
ции F1 (r) в ряд Тейлора мы приходим к следующей формуле:
                                 Z
                    hF1 (r)i =               Ψ∗ (r)F1 (r)Ψ(r) d3 r.           (1.25)
                                     (V )


Среднее значение импульса
   Среднее значение импульса в состоянии Ψ(r) невозможно вычис-
лить по формуле (1.24) с простой заменой r → p, поскольку нам пока
неизвестно распределение импульсов в данном состоянии. Чтобы по-
лучить его, воспользуемся разложением (1.22), а также нормированно-
стью Ψ(r) в объеме (V ) и ортогональностью волн де-Бройля (1.20):
    Z                     X          Z                     X
               2 3            ∗         ∗             3
        |Ψ(r)| d r = 1 =     ck 0 ck   Ψk0 (r)Ψk (r) d r =   |ck |2 .
      (V )                   k0 k                  (V )                   k
                                               |              {z      }
                                                             δk 0 k

Полученное соотношение
                      X                           X
                                         2
                                 |ck | =                  wk = 1
                                 |{z}
                             k                     k
                                    wk

похоже на условие нормировки в теории вероятностей. Поэтому по ана-
логии с |Ψ(r)|2 величине wk можно придать смысл вероятности об-
наружения значения импульса p = }k в состоянии Ψ(r) (в данном
случае распределение по импульсам получается дискретным в отличие
от непрерывного распределения по координатам).
   Подобно координате среднее значение импульса вычисляем по тео-
реме о математическом ожидании с распределением wk . Для нахожде-
ния ck воспользуемся (1.23):
        X          X               X ZZ
                          ∗
hpi = }    kwk = }    k c k ck = }      Ψ∗ (r)Ψk (r)Ψ(r 0 )k Ψ∗k (r 0 ) d3 r d3 r0 .
             k          k                     k

Страницы