Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
Вспоминая явный вид Ψ
k
(r) (см. (1.19)), имеем:
k Ψ
∗
k
(r
0
) =
1
√
V
k e
−ikr
0
= i∇
r
0
Ψ
∗
k
(r
0
).
Действие оператора ∇
r
0
перенесем с функции Ψ
∗
k
(r
0
) на Ψ(r
0
) по фор-
муле интегрирования по частям:
Z
(V )
Ψ(r
0
)∇
r
0
Ψ
∗
k
(r
0
) d
3
r
0
= Ψ(r
0
)Ψ
∗
k
(r
0
)|
| {z }
0
−
Z
(V )
Ψ
∗
k
(r
0
)∇
r
0
Ψ(r
0
) d
3
r
0
.
Интеграл по поверхности куба обращается в нуль вследствие периоди-
ческих граничных условий (1.15) как для Ψ
k
(r
0
), так и для Ψ(r
0
).
Исключим теперь из выражения для hpi функции Ψ
k
(r) на основа-
нии свойства полноты (1.21):
hpi =
ZZ
X
k
Ψ
∗
k
(r
0
)Ψ
k
(r)
| {z }
δ(r
0
−r)
Ψ
∗
(r)(−i}∇
r
0
)Ψ(r
0
) d
3
r
0
d
3
r =
=
Z
(V )
Ψ
∗
(r)(−i}∇)Ψ(r) d
3
r,
где ∇ ≡ ∇
r
.
Таким образом,
hpi =
Z
(V )
Ψ
∗
(r)(−i}∇)Ψ(r) d
3
r. (1.26)
По аналогии с соответствующими вычислениями hF
1
(r)i для hF
2
(p)i
получаем:
hp
n
x
x
p
n
y
y
p
n
z
z
i =
Z
(V )
Ψ
∗
(r)
−i}
∂
∂x
n
x
−i}
∂
∂y
n
y
−i}
∂
∂z
n
z
Ψ(r) d
3
r;
hF
2
(p)i =
Z
(V )
Ψ
∗
(r)F
2
(−i}∇)Ψ(r) d
3
r. (1.27)
Смысл операции дифференцирования под знаком функции F
2
(p) в
(1.27) станет ясен ниже.
                                                   20


Вспоминая явный вид Ψk (r) (см. (1.19)), имеем:
                                          1       0
                          k Ψ∗k (r 0 ) = √ k e−ikr = i∇r0 Ψ∗k (r 0 ).
                                           V
Действие оператора ∇r0 перенесем с функции Ψ∗k (r 0 ) на Ψ(r 0 ) по фор-
муле интегрирования по частям:
  Z                                                         Z
         Ψ(r 0 )∇r0 Ψ∗k (r 0 ) d3 r0 = Ψ(r 0 )Ψ∗k (r 0 )| −        Ψ∗k (r 0 )∇r0 Ψ(r 0 ) d3 r0 .
    (V )                               |      {z        }     (V )
                                                    0

Интеграл по поверхности куба обращается в нуль вследствие периоди-
ческих граничных условий (1.15) как для Ψk (r 0 ), так и для Ψ(r 0 ).
   Исключим теперь из выражения для hpi функции Ψk (r) на основа-
нии свойства полноты (1.21):
          ZZ X
  hpi =                 Ψ∗k (r 0 )Ψk (r) Ψ∗ (r)(−i}∇r0 )Ψ(r 0 ) d3 r0 d3 r =
                    k
                |           {z           }
                         δ(r 0 −r)
                                                              Z
                                                          =          Ψ∗ (r)(−i}∇)Ψ(r) d3 r,
                                                              (V )

где ∇ ≡ ∇r .
   Таким образом,
                                     Z
                            hpi =            Ψ∗ (r)(−i}∇)Ψ(r) d3 r.                     (1.26)
                                     (V )


По аналогии с соответствующими вычислениями hF1 (r)i для hF2 (p)i
получаем:
                        Z                  nx        ny         nz
                                         ∂           ∂            ∂
 hpnx x pny y pnz z i =       Ψ∗ (r) −i}         −i}          −i}        Ψ(r) d3 r;
                         (V )            ∂x          ∂y           ∂z
                                     Z
                        hF2 (p)i =              Ψ∗ (r)F2 (−i}∇)Ψ(r) d3 r.               (1.27)
                                         (V )

Смысл операции дифференцирования под знаком функции F2 (p) в
(1.27) станет ясен ниже.

Страницы