Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
Так, например, действие оператора координаты на функцию сводится к
ее обычному умножению на координату:
ˆ
rΨ(r) = rΨ(r), в то время как
действие оператора импульса представляет собой дифференцирование:
ˆ
pΨ(r) = −i}∇Ψ(r).
В соответствии с определениями оператора (1.30) и скалярного про-
изведения в L
2
(1.10), формулу (1.29) можно переписать в дираковских
обозначениях:
hF i = hΨ|
ˆ
F |Ψi. (1.31)
Оператор всегда задается на определенном множестве (классе)
функций. Как правило, это функции из L
2
, удовлетворяющие стандарт-
ным условиям. Дополнительные требования к классу функций дикту-
ются постановкой конкретной задачи.
Введем правила математических действий над операторами, пред-
полагая, что эти операторы заданы на определенном классе функций.
Алгебра операторов
1
◦
. Операторное равенство
ˆ
F =
ˆ
G. Операторы
ˆ
F и
ˆ
G равны друг
другу, если при их действии на одну и ту же произвольную функцию
4
Ψ(ξ) получаются одинаковые функции:
ˆ
F Ψ(x) =
ˆ
GΨ(ξ).
Требование произвольности функции Ψ(ξ) существенно! В каче-
стве предостережения рассмотрим действие операторов
ˆ
F
1
= −ξ и
ˆ
F
2
=
d
dξ
на функцию e
−ξ
2
/2
. Совпадение результатов не означает ра-
венства
d
dξ
= −ξ, поскольку оно выполняется не для произвольной
функции.
2
◦
. Нулевой оператор
ˆ
0. Оператор называется нулевым, если при
его действии на произвольную функцию Ψ(ξ) результатом является
тождественный нуль:
ˆ
0Ψ(ξ)
def
≡ 0.
Шляпка над нулевым оператором, как правило, не ставится. Вместо
этого пишется число нуль. Здесь и далее символ «def» подчеркивает,
что приведенное равенство является определением.
4
из класса, на котором определены рассматриваемые операторы — здесь и далее
                                        22


Так, например, действие оператора координаты на функцию сводится к
ее обычному умножению на координату: r̂Ψ(r) = rΨ(r), в то время как
действие оператора импульса представляет собой дифференцирование:
p̂Ψ(r) = −i}∇Ψ(r).
    В соответствии с определениями оператора (1.30) и скалярного про-
изведения в L2 (1.10), формулу (1.29) можно переписать в дираковских
обозначениях:
                           hF i = hΨ| F̂ |Ψi .                 (1.31)

   Оператор всегда задается на определенном множестве (классе)
функций. Как правило, это функции из L2 , удовлетворяющие стандарт-
ным условиям. Дополнительные требования к классу функций дикту-
ются постановкой конкретной задачи.
   Введем правила математических действий над операторами, пред-
полагая, что эти операторы заданы на определенном классе функций.

Алгебра операторов
   1◦ . Операторное равенство F̂ = Ĝ. Операторы F̂ и Ĝ равны друг
другу, если при их действии на одну и ту же произвольную функцию4
Ψ(ξ) получаются одинаковые функции:

                                F̂ Ψ(x) = ĜΨ(ξ).

    Требование произвольности функции Ψ(ξ) существенно! В каче-
стве предостережения рассмотрим действие операторов F̂1 = −ξ и
        d               2
F̂2 =     на функцию e−ξ /2 . Совпадение результатов не означает ра-
       dξ
          d
венства      = −ξ, поскольку оно выполняется не для произвольной
          dξ
функции.
    2◦ . Нулевой оператор 0̂. Оператор называется нулевым, если при
его действии на произвольную функцию Ψ(ξ) результатом является
тождественный нуль:
                                          def
                                   0̂Ψ(ξ) ≡ 0.
Шляпка над нулевым оператором, как правило, не ставится. Вместо
этого пишется число нуль. Здесь и далее символ «def» подчеркивает,
что приведенное равенство является определением.
  4 из   класса, на котором определены рассматриваемые операторы — здесь и далее

Страницы