Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
Очевидно, что в случае коммутирующих операторов он становится ну-
левым оператором.
Также вводится антикоммутатор:
{
ˆ
F ,
ˆ
G} =
ˆ
F
ˆ
G +
ˆ
G
ˆ
F . (1.34)
Для антикоммутатора иногда используется обозначение [
ˆ
F ,
ˆ
G]
+
.
Таким образом, при аналитических действиях с операторами всегда
необходимо следить за порядком следования сомножителей в произ-
ведениях. Если возникает необходимость изменения порядка сомножи-
телей, то необходимо учитывать коммутационное соотношение между
операторами.
7
◦
. Обратный оператор:
ˆ
F
−1
. Оператором, обратным к
ˆ
F , будем
называть такой оператор
ˆ
F
−1
, для которого выполняется соотношение:
ˆ
F
−1
ˆ
F
def
=
ˆ
F
ˆ
F
−1
def
=
ˆ
1.
В соответствии с некоммутативностью произведения укажем на некор-
ректность записей типа
ˆ
F
ˆ
G
. Необходимо использовать обратный опера-
тор:
ˆ
F
ˆ
G
−1
либо
ˆ
G
−1
ˆ
F (при этом могут получиться различные резуль-
таты).
8
◦
. Целая положительная степень оператора:
ˆ
F
n
. Это n-
кратное перемножение оператора
ˆ
F на себя:
ˆ
F
n
def
=
ˆ
F · . . . ·
ˆ
F
| {z }
n раз
.
9
◦
. Функция от оператора. Если функция f(z) допускает разло-
жение в ряд Тейлора в окрестности нуля
f(z) =
∞
X
n=0
c
n
z
n
,
то, заменив в правой части z на некоторый оператор
ˆ
F , получим опера-
торную функцию
ˆ
f(
ˆ
F ), которая является оператором, действие кото-
рого на произвольную функцию Ψ определяется следующим образом:
ˆ
f(
ˆ
F )Ψ
def
=
∞
X
n=0
c
n
ˆ
F
n
Ψ.
                                       24


Очевидно, что в случае коммутирующих операторов он становится ну-
левым оператором.
   Также вводится антикоммутатор:

                         {F̂ , Ĝ} = F̂ Ĝ + ĜF̂ .             (1.34)

Для антикоммутатора иногда используется обозначение [F̂ , Ĝ]+ .
   Таким образом, при аналитических действиях с операторами всегда
необходимо следить за порядком следования сомножителей в произ-
ведениях. Если возникает необходимость изменения порядка сомножи-
телей, то необходимо учитывать коммутационное соотношение между
операторами.
   7◦ . Обратный оператор: F̂ −1 . Оператором, обратным к F̂ , будем
называть такой оператор F̂ −1 , для которого выполняется соотношение:
                                 def             def
                         F̂ −1 F̂ = F̂ F̂ −1 = 1̂.

В соответствии с некоммутативностью произведения укажем на некор-
                       F̂
ректность записей типа . Необходимо использовать обратный опера-
                       Ĝ
          −1      −1
тор: F̂ Ĝ либо Ĝ F̂ (при этом могут получиться различные резуль-
таты).
   8◦ . Целая положительная степень оператора: F̂ n . Это n-
кратное перемножение оператора F̂ на себя:
                                def
                           F̂ n = F̂
                                  | · .{z
                                        . . · F̂} .
                                        n раз

  9◦ . Функция от оператора. Если функция f (z) допускает разло-
жение в ряд Тейлора в окрестности нуля
                                       ∞
                                       X
                           f (z) =           cn z n ,
                                       n=0


то, заменив в правой части z на некоторый оператор F̂ , получим опера-
торную функцию fˆ(F̂ ), которая является оператором, действие кото-
рого на произвольную функцию Ψ определяется следующим образом:
                                       ∞
                                       X
                                 def
                        fˆ(F̂ )Ψ =           cn F̂ n Ψ.
                                       n=0

Страницы