Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
Действительно:
h
ˆ
F
ˆ
GΦ|Ψi = h
ˆ
GΦ|
ˆ
F
†
Ψi = hΦ|
ˆ
G
†
ˆ
F
†
Ψi. (1.39)
Оператор называется самосопряженным, или эрмитовым, если он
совпадает со своим эрмитовым сопряжением:
ˆ
F
†
def
=
ˆ
F . (1.40)
Дадим определение эрмитова оператора в интегральной форме на
основе (1.37), (1.40):
Z
Φ
∗
(ξ)
ˆ
F Ψ(ξ) dξ
def
=
Z
Ψ(ξ)
ˆ
F
∗
Φ
∗
(ξ) dξ, (1.41)
а также в дираковских обозначениях (1.36):
hΦ|
ˆ
F |Ψi
def
= hΨ|
ˆ
F |Φi
∗
. (1.42)
Определение (1.42) подчеркивает полную аналогию с эрмитовыми мат-
рицами.
На основании (1.38) можно заключить, что для эрмитовых опера-
торов
ˆ
F и
ˆ
G
(
ˆ
F
ˆ
G)
†
=
ˆ
G
ˆ
F ,
т.е. произведение эрмитовых операторов будет самосопряженным
только в случае их коммутации. Коммутатор и антикоммутатор эрми-
товых операторов будут соответственно антиэрмитовым и эрмитовым:
[
ˆ
F ,
ˆ
G]
†
= −[
ˆ
F ,
ˆ
G]; {
ˆ
F ,
ˆ
G}
†
= {
ˆ
F ,
ˆ
G}. (1.43)
Оператор
ˆ
U называется унитарным, если его эрмитово сопряжение
совпадает с обратным оператором:
ˆ
U
−1
def
=
ˆ
U
†
. (1.44)
Операторы физических величин
В предыдущем разделе мы получили явные выражения для опера-
торов координаты (
ˆ
r = r) и импульса (
ˆ
p = −i}∇). Здесь мы построим
операторы других физических величин. Сформулируем вначале общие
требования, предъявляемые к таким операторам.
                                             26


Действительно:

                   hF̂ ĜΦ|Ψi = hĜΦ|F̂ † Ψi = hΦ|Ĝ† F̂ † Ψi .                 (1.39)

   Оператор называется самосопряженным, или эрмитовым, если он
совпадает со своим эрмитовым сопряжением:

                                             def
                                      F̂ † = F̂ .                               (1.40)

   Дадим определение эрмитова оператора в интегральной форме на
основе (1.37), (1.40):
                 Z                                Z
                                            def
                     Φ∗ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ =                Ψ(ξ)F̂ ∗ Φ∗ (ξ) dξ,      (1.41)

а также в дираковских обозначениях (1.36):

                                            def
                            hΦ| F̂ |Ψi = hΨ| F̂ |Φi∗ .                          (1.42)

Определение (1.42) подчеркивает полную аналогию с эрмитовыми мат-
рицами.
   На основании (1.38) можно заключить, что для эрмитовых опера-
торов F̂ и Ĝ
                           (F̂ Ĝ)† = ĜF̂ ,
т.е. произведение эрмитовых операторов будет самосопряженным
только в случае их коммутации. Коммутатор и антикоммутатор эрми-
товых операторов будут соответственно антиэрмитовым и эрмитовым:

                 [F̂ , Ĝ]† = −[F̂ , Ĝ];             {F̂ , Ĝ}† = {F̂ , Ĝ}.   (1.43)

   Оператор Û называется унитарным, если его эрмитово сопряжение
совпадает с обратным оператором:

                                             def
                                     Û −1 = Û † .                             (1.44)

Операторы физических величин
   В предыдущем разделе мы получили явные выражения для опера-
торов координаты (r̂ = r) и импульса (p̂ = −i}∇). Здесь мы построим
операторы других физических величин. Сформулируем вначале общие
требования, предъявляемые к таким операторам.

Страницы