Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 25 стр.

                                      25


Отметим, что после вычисления действия оператора F̂ n на Ψ ряд в пра-
вой части уже может не суммироваться в аналитическом виде. Функция
от оператора уже встречалась ранее (см. (1.27)). Здесь мы разъяснили
смысл этой конструкции.

Эрмитово сопряжение операторов
     Введем операцию эрмитова сопряжения для операторов.
     Оператор F̂ † называется эрмитово сопряженным по отношению к
F̂ , если оба оператора заданы на одном и том же классе функций и
для произвольных функций Φ(ξ) и Ψ(ξ) из этого класса выполняется
равенство следующих скалярных произведений:

                          hF̂ Φ|Ψi = hΦ|F̂ † Ψi ,                     (1.35)

то есть скалярное произведение функции F̂ Φ на Ψ равно скалярному
произведению функции Φ (на которую уже не действует оператор F̂ ) на
функцию F̂ † Ψ, получаемую из Ψ действием некоторого оператора F̂ † ,
который и называется эрмитово сопряженным к F̂ . Учитывая свойство
(1.12) скалярного произведения (с функцией Φ, замененной на F̂ Φ) и
вводя обозначение hΨ| F̂ Φi ≡ hΨ| F̂ |Φi, определение (1.35) можно пере-
писать в следующем виде:

                                      def
                        hΦ| F̂ † |Ψi = hΨ| F̂ |Φi∗ .                  (1.36)

Конструкция hΦ| Ĝ |Ψi называется матричным элементом оператора
Ĝ между состояниями |Ψi и |Φi, которые иногда называются «обклад-
ками». «Обкладки» являются аналогом матричных индексов. Опреде-
ление (1.36) соответствует определению эрмитово сопряженной матри-
цы ({a∗mn }) к матрице {anm }. В интегральной форме определение (1.36)
имеет следующий вид:
               Z                            Z
                    ∗     †           def
                   Φ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ =            Ψ(ξ)F̂ ∗ Φ∗ (ξ) dξ.   (1.37)


Подчеркнем, что все три записи определения оператора F̂ † , эрмитово
сопряженного к F̂ , являются эквивалентными.
   Легко показать, что эрмитово сопряжение произведения операторов
изменяет порядок следования сомножителей на обратный:

                              (F̂ Ĝ)† = Ĝ† F̂ † .                   (1.38)