Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
3
◦
. Единичный оператор
ˆ
1. Оператор называется единичным,
если его действие на произвольную функцию Ψ(ξ) не изменяет послед-
нюю:
ˆ
1Ψ(ξ)
def
= Ψ(ξ).
Шляпка над единичным оператором тоже, как правило, не ставится.
Вместо этого пишется число единица.
4
◦
. Умножение оператора на константу: α
ˆ
F . При умножении
оператора на константу получается новый оператор, действие которого
на произвольную функцию Ψ(ξ) задается правилом:
(α
ˆ
F )Ψ(ξ)
def
= α[
ˆ
F Ψ(ξ)].
5
◦
. Сумма операторов:
ˆ
F +
ˆ
G. Суммой операторов
ˆ
F и
ˆ
G на-
зывается оператор, действие которого на произвольную функцию Ψ
заключается в действии на нее каждого оператора по отдельности с
последующим сложением результатов:
(
ˆ
F +
ˆ
G)Ψ
def
= (
ˆ
F Ψ) + (
ˆ
GΨ).
Поскольку сумма функций не зависит от порядка следования слагае-
мых, сумма операторов тоже не зависит от порядка следования сла-
гаемых. Иными словами, сумма операторов подчиняется «перемести-
тельному закону»:
ˆ
F +
ˆ
G =
ˆ
G +
ˆ
F . (1.32)
6
◦
. Произведение операторов:
ˆ
F
ˆ
G. Произведением операторов
ˆ
F и
ˆ
G называется оператор, действие которого на произвольную функ-
цию Ψ заключается в последовательном действии на нее сначала опе-
ратора
ˆ
G, а затем
ˆ
F :
(
ˆ
F
ˆ
G)Ψ
def
=
ˆ
F (
ˆ
GΨ).
В отличие от суммы произведение операторов в общем случае зависит
от порядка следования сомножителей:
ˆ
F
ˆ
G 6=
ˆ
G
ˆ
F ,
т.е. в общем случае произведение операторов некоммутативно. Если
все же имеет место равенство между произведениями
ˆ
F
ˆ
G и
ˆ
G
ˆ
F , то
операторы
ˆ
F и
ˆ
G называют коммутирующими.
В квантовой механике оказывается удобным ввести специальную
конструкцию, построенную из произведений операторов, — коммута-
тор:
[
ˆ
F ,
ˆ
G] =
ˆ
F
ˆ
G −
ˆ
G
ˆ
F . (1.33)
                                    23


   3◦ . Единичный оператор 1̂. Оператор называется единичным,
если его действие на произвольную функцию Ψ(ξ) не изменяет послед-
нюю:
                                   def
                            1̂Ψ(ξ) = Ψ(ξ).
Шляпка над единичным оператором тоже, как правило, не ставится.
Вместо этого пишется число единица.
   4◦ . Умножение оператора на константу: αF̂ . При умножении
оператора на константу получается новый оператор, действие которого
на произвольную функцию Ψ(ξ) задается правилом:
                                    def
                       (αF̂ )Ψ(ξ) = α[F̂ Ψ(ξ)].
   5◦ . Сумма операторов: F̂ + Ĝ. Суммой операторов F̂ и Ĝ на-
зывается оператор, действие которого на произвольную функцию Ψ
заключается в действии на нее каждого оператора по отдельности с
последующим сложением результатов:
                                 def
                     (F̂ + Ĝ)Ψ = (F̂ Ψ) + (ĜΨ).
Поскольку сумма функций не зависит от порядка следования слагае-
мых, сумма операторов тоже не зависит от порядка следования сла-
гаемых. Иными словами, сумма операторов подчиняется «перемести-
тельному закону»:
                           F̂ + Ĝ = Ĝ + F̂ .                (1.32)
    6◦ . Произведение операторов: F̂ Ĝ. Произведением операторов
F̂ и Ĝ называется оператор, действие которого на произвольную функ-
цию Ψ заключается в последовательном действии на нее сначала опе-
ратора Ĝ, а затем F̂ :
                                   def
                          (F̂ Ĝ)Ψ = F̂ (ĜΨ).
В отличие от суммы произведение операторов в общем случае зависит
от порядка следования сомножителей:
                              F̂ Ĝ 6= ĜF̂ ,
т.е. в общем случае произведение операторов некоммутативно. Если
все же имеет место равенство между произведениями F̂ Ĝ и ĜF̂ , то
операторы F̂ и Ĝ называют коммутирующими.
    В квантовой механике оказывается удобным ввести специальную
конструкцию, построенную из произведений операторов, — коммута-
тор:
                         [F̂ , Ĝ] = F̂ Ĝ − ĜF̂ .           (1.33)

Страницы