Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 21 стр.

                                        21


1.6.    Физические величины в квантовой теории
   Рассмотрим выражения (1.24) и (1.26) (или (1.25) и (1.27)). Они
имеют одинаковую структуру:
                         Z
                  hF i =    Ψ∗ (r)F̂ (r)Ψ(r) d3 r.           (1.28)
                              (V )


Конструкция F̂ (r) называется оператором величины F . Так, оператор
координаты это просто вектор r: r̂ = r; оператор импульса p̂ = −i}∇
содержит операцию векторного дифференцирования3.
   Обобщим соотношение (1.28) на произвольную физическую вели-
чину F :
                             Z
                       hF i = Ψ∗ (ξ)F̂ Ψ(ξ) dξ.                (1.29)

hF i называют средним значением физической величины F в состоянии
Ψ(ξ). Время в Ψ(ξ) и аргументы в F̂ для упрощения записи не пока-
заны. Функция Ψ предполагается нормированной на единицу условием
(1.8).
    Если соотношение (1.29) выполняется для произвольного состояния,
то F̂ называется оператором величины F . Таким образом, всякой фи-
зической величине в квантовой механике сопоставляется соответ-
ствующий оператор, так что среднее значение этой величины в про-
извольном квантовом состоянии микросистемы дается формулой (1.29)
(напомним, что в классической механике физические величины явля-
ются обычными вещественными функциями обобщенных координат и
обобщенных импульсов). Как правило, для обозначения оператора ис-
пользуется та же буква, что и для соответствующей физической ве-
личины, но только со шляпкой, например, импульсу p соответствует
оператор импульса p̂.
    С математической точки зрения оператор представляет собой некий
способ перехода от одной волновой функции к другой. Задать опера-
тор означает указать такой способ. Запись F̂ Ψ(ξ) означает действие
оператора F̂ на функцию Ψ(ξ), которое в общем случае не сводится к
обычному умножению. Результатом действия оператора на функцию
будет новая функция:
                                     Φ = F̂ Ψ.                         (1.30)
  3 Напомним, что все сказанное здесь относится к координатному представлению
и будет обобщено в разделе «Теория представлений».