Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
Прежде всего, для выполнения принципа суперпозиции оператор
физической величины обязан быть линейным, т.е. для любых функций
Φ, Ψ и комплексной константы α должны выполняться равенства:
ˆ
F (αΨ) = α
ˆ
F Ψ;
ˆ
F (Ψ + Φ) =
ˆ
F Ψ +
ˆ
F Φ. (1.45)
Поскольку измерительные приборы дают вещественные значения
величины F , ее среднее значение hF i обязано быть вещественным в
любых состояниях. Этого можно достичь, потребовав от оператора
ˆ
F
самосопряженности. Действительно, на основании (1.31) имеем:
hF i
∗
= hΨ|
ˆ
F |Ψi
∗
(1.42)
= hΨ|
ˆ
F |Ψi
(1.31)
= hF i.
Таким образом, операторы физических величин обязаны быть линей-
ными и эрмитовыми.
Таблица 1.1. Операторы основных физических величин
№ Величина Оператор Примечание
1 координата r
ˆ
r = r
ˆ
rΨ(r) = rΨ(r)
2 импульс p
ˆ
p = −i}∇
ˆ
p = −i}
X
k
e
k
∂
∂x
k
= −i}
∂
∂r
3 орб. момент L
ˆ
L = [r ×
ˆ
p]
4 кин. энергия T
ˆ
T =
ˆ
p
2
2m
ˆ
T Ψ(r) = −
}
2
2m
∇
2
Ψ(r)
5 потенц. энергия V
ˆ
V = V (r)
ˆ
V Ψ(r) = V (r)Ψ(r)
6 полная энергия E
ˆ
H =
ˆ
T +
ˆ
V
ˆ
H — гамильтониан
В таблице 1.1 собраны операторы важнейших физических величин,
которые используются как в классической, так и в квантовой механике.
Существуют и чисто квантовые характеристики состояний микрообъ-
ектов, не имеющие классических аналогов, например, четность P . Ей
соответствует оператор инверсии:
ˆ
IΨ(r)
def
= Ψ(−r). (1.46)
Предлагаем самостоятельно убедиться в линейности и самосопряжен-
ности всех перечисленных операторов.
                                    27


   Прежде всего, для выполнения принципа суперпозиции оператор
физической величины обязан быть линейным, т.е. для любых функций
Φ, Ψ и комплексной константы α должны выполняться равенства:

             F̂ (αΨ) = αF̂ Ψ;       F̂ (Ψ + Φ) = F̂ Ψ + F̂ Φ.       (1.45)

   Поскольку измерительные приборы дают вещественные значения
величины F , ее среднее значение hF i обязано быть вещественным в
любых состояниях. Этого можно достичь, потребовав от оператора F̂
самосопряженности. Действительно, на основании (1.31) имеем:
                                (1.42)            (1.31)
              hF i∗ = hΨ| F̂ |Ψi∗ = hΨ| F̂ |Ψi = hF i.

Таким образом, операторы физических величин обязаны быть линей-
ными и эрмитовыми.

         Таблица 1.1. Операторы основных физических величин

  №   Величина             Оператор         Примечание
  1   координата r         r̂ = r           r̂Ψ(r) = rΨ(r)
                                                     X     ∂        ∂
  2   импульс p            p̂ = −i}∇        p̂ = −i}   ek     = −i}
                                                          ∂xk       ∂r
                                                      k
  3   орб. момент L        L̂ = [r × p̂]
                                 p̂2                     }2 2
  4   кин. энергия T       T̂ =             T̂ Ψ(r) = −    ∇ Ψ(r)
                                2m                      2m
  5   потенц. энергия V    V̂ = V (r)       V̂ Ψ(r) = V (r)Ψ(r)
  6   полная энергия E     Ĥ = T̂ + V̂     Ĥ — гамильтониан


   В таблице 1.1 собраны операторы важнейших физических величин,
которые используются как в классической, так и в квантовой механике.
Существуют и чисто квантовые характеристики состояний микрообъ-
ектов, не имеющие классических аналогов, например, четность P . Ей
соответствует оператор инверсии:

                          ˆ     def
                          IΨ(r) = Ψ(−r).                            (1.46)

Предлагаем самостоятельно убедиться в линейности и самосопряжен-
ности всех перечисленных операторов.

Страницы