Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
Рис. 1.4.
Данная положительно определенная квадратичная форма обращается
в нуль только в таких состояниях, для которых (
d
∆F )Ψ(ξ) = 0, или,
в соответствии с определением
d
∆F ,
ˆ
F Ψ(ξ) = hF iΨ(ξ). (1.48)
Уравнение (1.48) является математическим выражением условия изме-
римости величины F в данном состоянии Ψ: величина F будет измери-
мой только в таких состояниях, волновая функция которых удовлетво-
ряет уравнению (1.48).
Проанализируем математические аспекты уравнения (1.48). Из тео-
рии операторов известно, что такие функции называются собственны-
ми функциями оператора. Действие оператора на них заключается в
умножении функций на константы — собственные значения оператора:
ˆ
F Ψ
F
(ξ) = F Ψ
F
(ξ). (1.49)
С математической точки зрения уравнение (1.49) представляет собой
уравнение для собственных функций и собственных значений опера-
тора
ˆ
F . Задача состоит в отыскании нетривиальных (Ψ
F
(ξ) 6≡ 0) ре-
шений уравнения (1.49) с заданными граничными условиями. Выбор
последних диктуется стандартными условиями, которым подчиняется
волновая функция (конечность, однозначность, непрерывность). В об-
щем случае
ˆ
F представляет собой линейный дифференциальный опера-
тор, так что уравнение (1.49) является линейным однородным диффе-
ренциальным уравнением
6
. Однородность приводит к неоднозначности
его решений: они определены с точностью до произвольного постоян-
ного множителя, т.е. должны быть нормированы.
Множество всех собственных значений оператора называется спек-
тром оператора. Если этот набор дискретный, то спектр называет-
ся дискретным, а если заполняет некоторый интервал,— непрерывным
(рис. 1.4). Дискретный спектр реализуется при финитном движении,
непрерывный — при инфинитном. Существуют и операторы, имеющие
6
Как правило, не выше второго порядка
                                      29




                                   Рис. 1.4.


Данная положительно определенная квадратичная форма обращается
                                               d )Ψ(ξ) = 0, или,
в нуль только в таких состояниях, для которых (∆F
                              d,
в соответствии с определением ∆F

                              F̂ Ψ(ξ) = hF iΨ(ξ).             (1.48)

Уравнение (1.48) является математическим выражением условия изме-
римости величины F в данном состоянии Ψ: величина F будет измери-
мой только в таких состояниях, волновая функция которых удовлетво-
ряет уравнению (1.48).
   Проанализируем математические аспекты уравнения (1.48). Из тео-
рии операторов известно, что такие функции называются собственны-
ми функциями оператора. Действие оператора на них заключается в
умножении функций на константы — собственные значения оператора:

                             F̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ).            (1.49)

С математической точки зрения уравнение (1.49) представляет собой
уравнение для собственных функций и собственных значений опера-
тора F̂ . Задача состоит в отыскании нетривиальных (ΨF (ξ) 6≡ 0) ре-
шений уравнения (1.49) с заданными граничными условиями. Выбор
последних диктуется стандартными условиями, которым подчиняется
волновая функция (конечность, однозначность, непрерывность). В об-
щем случае F̂ представляет собой линейный дифференциальный опера-
тор, так что уравнение (1.49) является линейным однородным диффе-
ренциальным уравнением6 . Однородность приводит к неоднозначности
его решений: они определены с точностью до произвольного постоян-
ного множителя, т.е. должны быть нормированы.
   Множество всех собственных значений оператора называется спек-
тром оператора. Если этот набор дискретный, то спектр называет-
ся дискретным, а если заполняет некоторый интервал,— непрерывным
(рис. 1.4). Дискретный спектр реализуется при финитном движении,
непрерывный — при инфинитном. Существуют и операторы, имеющие
  6 Как   правило, не выше второго порядка

Страницы