Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 31 стр.

                                       31


величины F в этом состоянии мы всякий раз будем получать одно из
собственных значений оператора F̂ . Мы вернемся позднее к вопросу о
вероятности получения того или иного определенного значения F в
произвольном состоянии Ψ.

1.8.   Свойства собственных функций и собственных
       значений линейного эрмитова оператора
     В данном разделе будут сформулированы общие свойства собствен-
ных функций и собственных значений линейного эрмитова оператора
F̂ . Для упрощения его спектр будет предполагаться дискретным:

                            F̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ).

   1. Собственные значения вещественны. Очевидно, что в состоянии
Ψn среднее значение величины F совпадает с определенным Fn . Как
уже было доказано, в случае эрмитова оператора F̂ среднее значение
величины F всегда вещественно. Отсюда следует и вещественность всех
собственных значений.
   2. Собственные функции линейного эрмитова оператора взаимно
ортогональны. Рассмотрим два различных собственных значения: Fn
и Fn0 (n 6= n0 ). Для них справедливы уравнения:

             F̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ);         F̂ ∗ Ψ∗n0 (ξ) = Fn0 Ψ∗n0 (ξ)   (1.52)

(над Fn0 отсутствует знак комплексного сопряжения вследствие веще-
ственности собственных значений). Умножим первое уравнение в (1.52)
слева на Ψ∗n0 (ξ), второе — на Ψn (ξ), проинтегрируем по ξ и вычтем одно
из другого:
                                      ∗
       hΨn0 | F̂ |Ψn i − hΨn | F̂ |Ψn0 i = (Fn − Fn0 ) hΨn0 |Ψn i .        (1.53)
                                           | {z }
                                                  6=0

Матричные элементы в (1.53) равны друг другу вследствие эрмитово-
сти F̂ (см. (1.42)). Поэтому

                         hΨn0 |Ψn i = 0,         n0 6= n,

т.е. функции Ψn (ξ) и Ψn0 (ξ) ортогональны в L2 . Поскольку при финит-
ном движении волновые функции нормируемы на единицу (см. (1.8)),
для собственных функций оператора с дискретным спектром можно