Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 32 стр.

                                  32


сформулировать условие ортонормировки, включающее в себя и слу-
чай n0 = n:                Z
               hΨn0 |Ψn i = Ψ∗n0 (ξ)Ψn (ξ) dξ = δn0 n .   (1.54)

Поскольку число собственных значений оператора обычно превышает
единицу, к собственным значениям и собственным функциям в уравне-
нии (1.49) добавляются нумерующие их индексы (в основном, в случае
дискретного спектра) — квантовые числа. Они однозначно соответству-
ют собственным значениям. Во многих случаях, например, в соотноше-
нии (1.54), вместо значений Fn фигурируют лишь квантовые числа n,
n 0 : δ Fn 0 Fn ≡ δ n 0 n .
      Приведенное выше доказательство ортогональности неприменимо
к собственным функциям Ψnα (ξ) (α = 1, 2, . . . , f ), соответствующим
f -кратно вырожденному собственному значению Fn . Поэтому, вообще
говоря, эти функции не обязаны быть ортогональными друг другу. Тем
не менее и их можно ортогонализовать — построить f различных вза-
имно ортогональных и нормированных линейных комбинаций (проце-
дура Шмидта, известная из курса линейной алгебры).
      Таким образом, мы будем считать, что всякий линейный эрми-
тов оператор имеет ортонормированную систему собственных функций
Ψnα (ξ): hΨnα |Ψn0 α0 i = δnn0 δαα0 .
      3. Собственные функции эрмитова оператора образуют полную
систему в пространстве L2 . Полнота означает разложимость любой
функции Ψ(ξ) из L2 в обобщенный ряд Фурье по собственным функци-
ям оператора F̂ :
                                  X
                         Ψ(ξ) =         cn Ψn (ξ).              (1.55)
                                  n

Если справедливо разложение (1.55), то формула для cn получается из
условия ортонормировки (1.54) (проверить самостоятельно!):
                                    Z
                   cn = hΨn |Ψi =        Ψ∗n (ξ)Ψ(ξ) dξ.        (1.56)

    Из курса линейной алгебры известно, что полная ортонормирован-
ная система элементов данного пространства называется его базисом.
Поэтому система собственных функций линейного эрмитова оператора
F̂ иногда называется базисом пространства L2 , порождаемым операто-
ром F̂ .