Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 34 стр.

                                    34


Оно полностью идентично соответствующему соотношению для коэф-
фициентов разложения (1.22) по волнам де-Бройля. Напомним, что в
разделе «Средние значения координаты и импульса» величине |ck |2
придавался смысл вероятности получения значения импульса p = }k в
состоянии Ψ(r). Обобщим теперь данное утверждение на произвольную
величину F : |cn |2 есть вероятность получения значения F = Fn при
измерении F в состоянии Ψ(ξ). Смысл этого утверждения становится
совершенно понятным, если (учитывая полноту системы собственных
функций оператора F̂ ) представить среднее значение величины F в
состоянии Ψ(r) в виде:

                                           X
                     hF i = hΨ| F̂ |Ψi =             |cn |2 Fn .       (1.61)
                                            n


Условие (1.60) соответствует условию нормировки в теории вероятно-
стей, а (1.61) - определению матожидания дискретной случайной вели-
чины F . Так решается вопрос о вероятности получения того или ино-
го определенного значения величины F при ее измерении в состоянии
Ψ(ξ).

1.9.   Оператор с непрерывным спектром собствен-
       ных значений
   Переформулируем утверждения предыдущего раздела для операто-
ра с дискретным спектром, на случай оператора с непрерывным спек-
тром:
                       F̂ ΨF (ξ) = F ΨF (ξ).
Заметим, что роль квантовых чисел здесь играет величина F , принима-
ющая непрерывный ряд значений. Иногда используется и другое обо-
значение собственных функций: ΨF (ξ) ≡ Ψ(F, ξ).
   Утверждение о вещественности собственных значений по-прежнему
остается в силе. Соотношения же ортонормировки и полноты требуют
уточнения. Действительно, как можно видеть на примере оператора p̂x
(см. (1.51)), в случае p0x = px нормировочный интеграл в (1.54) расхо-
дится:         Z                           Z
               +∞                                       +∞
                    Ψ∗px (x)Ψpx (x) dx   = |C|   2
                                                             dx → ∞.
              −∞                                       −∞
Физически причина данной расходимости заключается в том, что ситу-
ация с бесконечными пределами интегрирования является в некоторой