Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

36
Полученное соотношение обобщает (1.54) на случай состояний непре-
рывного спектра и называется нормировкой на дельта-функцию: хотя
интеграл от |Ψ
F
(ξ)|
2
по F по-прежнему расходится, условие (1.65) поз-
воляет подобрать независящий от ξ коэффициент в Ψ
F
(ξ) так, чтобы
коэффициент при дельта-функции в (1.65) равнялся единице.
Существует и другое обоснование условия нормировки (1.65). Для непре-
рывно меняющейся величины физически бессмысленно говорить о ее абсо-
лютно точном значении F — следует говорить о ее значении в интервале
(F, F + ∆F ), где ∆F F . Тогда вместо Ψ
F
(ξ) следует рассматривать волно-
вые пакеты:
∆Ψ
F
(ξ) =
Z
F +∆F
F −∆F
Ψ
F
(ξ) dF.
Они локализованы в пространстве и могут нормироваться как и в случае
финитного движения. П.А.М. Дирак показал, что в этом случае можно со-
хранить всю математику состояний дискретного спектра, если нормировать
Ψ
F
(ξ) на δ-функцию. Для этого δ-функция и была введена.
С учетом (1.65) легко получить явный вид коэффициента c
F
в раз-
ложении (1.62), умножая его на Ψ
F
0
(ξ) и интегрируя по ξ:
c
F
= hΨ
F
|Ψi =
Z
Ψ
∗
F
(ξ)Ψ(ξ) dξ. (1.66)
Здесь видна полная аналогия с формулой (1.56) для дискретного спек-
тра.
Полностью аналогично выводу соотношения (1.58) для случая дис-
кретного спектра (с заменой суммирования по n на интегрирование по
F ), для состояний непрерывного спектра условие полноты (1.63) также
можно переписать в эквивалентном виде на языке функций Ψ
F
(ξ):
Z
Ψ
F
(ξ)Ψ
∗
F
(ξ
0
)dF = δ(ξ − ξ
0
). (1.67)
В качестве иллюстрации покажем, как из (1.67) следует (1.63):
Z
|c
F
|
2
dF =
Z
c
∗
F
c
F
dF
=
ZZ
Ψ
∗
(ξ)Ψ(ξ
0
)
Z
Ψ
F
(ξ)Ψ
∗
F
(ξ
0
)dF
dξdξ
0
=
Z
Ψ(ξ)Ψ
∗
(ξ) dξ .
Подобно |c
n
|
2
, величине |c
F
|
2
dF следует придать смысл вероятности
обнаружения величины F в интервале [F, F + dF ] при ее измерении в
                                      36


Полученное соотношение обобщает (1.54) на случай состояний непре-
рывного спектра и называется нормировкой на дельта-функцию: хотя
интеграл от |ΨF (ξ)|2 по F по-прежнему расходится, условие (1.65) поз-
воляет подобрать независящий от ξ коэффициент в ΨF (ξ) так, чтобы
коэффициент при дельта-функции в (1.65) равнялся единице.
    Существует и другое обоснование условия нормировки (1.65). Для непре-
рывно меняющейся величины физически бессмысленно говорить о ее абсо-
лютно точном значении F — следует говорить о ее значении в интервале
(F, F + ∆F ), где ∆F  F . Тогда вместо ΨF (ξ) следует рассматривать волно-
вые пакеты:                        Z  F +∆F
                         ∆ΨF (ξ) =            ΨF (ξ) dF.
                                     F −∆F
Они локализованы в пространстве и могут нормироваться как и в случае
финитного движения. П.А.М. Дирак показал, что в этом случае можно со-
хранить всю математику состояний дискретного спектра, если нормировать
ΨF (ξ) на δ-функцию. Для этого δ-функция и была введена.
   С учетом (1.65) легко получить явный вид коэффициента cF в раз-
ложении (1.62), умножая его на ΨF 0 (ξ) и интегрируя по ξ:
                                       Z
                    cF = hΨF |Ψi =         Ψ∗F (ξ)Ψ(ξ) dξ.           (1.66)


Здесь видна полная аналогия с формулой (1.56) для дискретного спек-
тра.
    Полностью аналогично выводу соотношения (1.58) для случая дис-
кретного спектра (с заменой суммирования по n на интегрирование по
F ), для состояний непрерывного спектра условие полноты (1.63) также
можно переписать в эквивалентном виде на языке функций ΨF (ξ):
                     Z
                         ΨF (ξ)Ψ∗F (ξ 0 )dF = δ(ξ − ξ 0 ).           (1.67)


В качестве иллюстрации покажем, как из (1.67) следует (1.63):
        Z             Z
          |cF | dF = c∗F cF dF
               2

       ZZ                Z                           Z
     =     Ψ∗ (ξ)Ψ(ξ 0 )    ΨF (ξ)Ψ∗F (ξ 0 )dF dξdξ 0 = Ψ(ξ)Ψ∗ (ξ) dξ .

   Подобно |cn |2 , величине |cF |2 dF следует придать смысл вероятности
обнаружения величины F в интервале [F, F + dF ] при ее измерении в

Страницы