Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 37 стр.

                                           37


состоянии Ψ, т.е. |cF |2 есть плотность вероятности распределения
определенных значений F в состоянии Ψ.
   Таким образом, для формального перехода от дискретного спектра
к непрерывному во всех соответствующих выражениях необходимо сде-
лать следующие замены:
                    X             Z
       Fn → F,           (. . .) → (. . .) dF, δn0 n → δ(F 0 − F ).
                           n


1.10.       Совместная измеримость физических величин
   Как известно, определенное значение величины F можно указать
только для конкретного специально выбранного состояния (описыва-
емого собственной функцией оператора F̂ ). В квантовой теории сов-
местная измеримость двух физических величин F и G подразумевает
существование таких состояний квантовой системы, в которых как
величина F , так и величина G имеют определенные значения. Данная
проблема специфична только для микромира и принципиально отсут-
ствует в макромире.
   Математическое условие совместной измеримости двух величин со-
стоит, естественно, в наличии у их операторов общих собственных
функций, т.е. общего базиса:

                  F̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ);        ĜΨn (ξ) = Gn Ψn (ξ).   (1.68)

Поэтому проблему совместной измеримости можно сформулировать
как поиск универсального критерия, позволяющего установить наличие
у операторов общих собственных функций без явного решения уравне-
ний (1.68).
   Критерий формулируется следующим образом: для того чтобы ли-
нейные операторы F̂ и Ĝ имели общие собственные функции, необхо-
димо и достаточно, чтобы эти операторы коммутировали.
   Для простоты будем предполагать спектр обоих операторов дис-
кретным и невырожденным.
   Докажем необходимость, т.е. установим коммутативность опера-
торов с общим базисом. Возьмем произвольную 7 функцию Ψ(ξ) и по-
действуем на нее коммутатором [F̂ , Ĝ], предварительно разложив ее по
базису операторов F̂ и Ĝ в соответствии с (1.55):

  7 из   пересечения L2 -пространств операторов F̂ и Ĝ