Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

38
[
ˆ
F ,
ˆ
G]Ψ(ξ)
(1.45)
=
X
n
c
n
(
ˆ
F
ˆ
G −
ˆ
G
ˆ
F )Ψ
n
(ξ)
(1.68)
=
=
X
n
c
n
(
ˆ
F G
n
−
ˆ
GF
n
)Ψ
n
(ξ)
(1.45)
=
X
n
c
n
(G
n
ˆ
F − F
n
ˆ
G)Ψ
n
(ξ)
(1.68)
=
=
X
n
c
n
(G
n
F
n
− F
n
G
n
)
| {z }
0
Ψ
n
(ξ) ≡ 0
(собственные значения — это обычные числа и поэтому их произведе-
ние коммутирует). Мы пришли к определению нулевого оператора, т.е.
доказали необходимость критерия:
[
ˆ
F ,
ˆ
G] = 0.
Докажем достаточность, т.е. установим наличие общих собствен-
ных функций у коммутирующих операторов
ˆ
F и
ˆ
G. Переформулируем
вопрос несколько иначе. Пусть Ψ
n
(ξ) — собственная функция операто-
ра
ˆ
F . Докажем, что она является собственной функцией и для комму-
тирующего с ним оператора
ˆ
G:
ˆ
F Ψ
n
(ξ) = F
n
Ψ
n
(ξ)
?
=⇒
ˆ
GΨ
n
(ξ) = G
n
Ψ
n
(ξ).
Подействуем на функцию Ψ
n
(ξ) оператором
ˆ
G
ˆ
F . С одной стороны, по
определению произведения операторов,
ˆ
G
ˆ
F Ψ
n
(ξ) =
ˆ
G[
ˆ
F Ψ
n
(ξ)] =
ˆ
GF
n
Ψ
n
(ξ)
(1.45)
= F
n
ˆ
GΨ
n
(ξ)
| {z }
Φ
n
(ξ)
= F
n
Φ
n
(ξ). (1.69)
С другой в силу коммутативности
ˆ
F и
ˆ
G,
ˆ
G
ˆ
F Ψ
n
(ξ) =
ˆ
F
ˆ
GΨ
n
(ξ)
| {z }
Φ
n
(ξ)
=
ˆ
F Φ
n
(ξ). (1.70)
Сопоставляя (1.69) и (1.70), приходим к равенству:
ˆ
F Φ
n
(ξ) = F
n
Φ
n
(ξ).
Это означает, что у оператора
ˆ
F при невырожденном собственном зна-
чении F
n
есть две собственные функции: Ψ
n
(ξ) и Φ
n
(ξ) =
ˆ
GΨ
n
(ξ). Но
в таком случае эти функции в силу линейности операторов должны
отличаться только постоянным множителем:
ˆ
GΨ
n
(ξ) = G
n
Ψ
n
(ξ),
                                          38


              (1.45)   X                              (1.68)
  [F̂ , Ĝ]Ψ(ξ) =          cn (F̂ Ĝ − ĜF̂ )Ψn (ξ) =
                       n
        X                              (1.45)   X                            (1.68)
    =       cn (F̂ Gn − ĜFn )Ψn (ξ) =                cn (Gn F̂ − Fn Ĝ)Ψn (ξ) =
        n                                        n
                                                X
                                           =          cn (Gn Fn − Fn Gn ) Ψn (ξ) ≡ 0
                                                 n
                                                         |      {z     }
                                                                    0

(собственные значения — это обычные числа и поэтому их произведе-
ние коммутирует). Мы пришли к определению нулевого оператора, т.е.
доказали необходимость критерия:

                                     [F̂ , Ĝ] = 0.

   Докажем достаточность, т.е. установим наличие общих собствен-
ных функций у коммутирующих операторов F̂ и Ĝ. Переформулируем
вопрос несколько иначе. Пусть Ψn (ξ) — собственная функция операто-
ра F̂ . Докажем, что она является собственной функцией и для комму-
тирующего с ним оператора Ĝ:
                                          ?
               F̂ Ψn (ξ) = Fn Ψn (ξ) =⇒ ĜΨn (ξ) = Gn Ψn (ξ).

Подействуем на функцию Ψn (ξ) оператором ĜF̂ . С одной стороны, по
определению произведения операторов,
                                                (1.45)
 ĜF̂ Ψn (ξ) = Ĝ[F̂ Ψn (ξ)] = ĜFn Ψn (ξ) = Fn ĜΨn (ξ) = Fn Φn (ξ). (1.69)
                                                | {z }
                                                               Φn (ξ)


С другой в силу коммутативности F̂ и Ĝ,

                       ĜF̂ Ψn (ξ) = F̂ ĜΨn (ξ) = F̂ Φn (ξ).                    (1.70)
                                        | {z }
                                           Φn (ξ)

Сопоставляя (1.69) и (1.70), приходим к равенству:

                                F̂ Φn (ξ) = Fn Φn (ξ).

Это означает, что у оператора F̂ при невырожденном собственном зна-
чении Fn есть две собственные функции: Ψn (ξ) и Φn (ξ) = ĜΨn (ξ). Но
в таком случае эти функции в силу линейности операторов должны
отличаться только постоянным множителем:

                               ĜΨn (ξ) = Gn Ψn (ξ),

Страницы