ВУЗ:
Составители:
40
Выберем некоторое состояние Ψ и введем средние значения величин
F и G в этом состоянии и вспомогательные эрмитовы операторы
d
∆F =
ˆ
F − hF i;
d
∆G =
ˆ
G − hGi.
Легко проверить, что они удовлетворяют тому же самому коммутаци-
онному соотношению (1.71), что и исходные операторы (среднее значе-
ние — обычное число и коммутирует с любым оператором):
[
d
∆F ,
d
∆G] = i
ˆ
B, (1.72)
Используя ту же самую волновую функцию, построим функционал
f(α) =
Z
(α
d
∆F − i
d
∆G)Ψ(ξ)
2
dξ.
При вещественном α он является положительно определенной квад-
ратичной формой относительно α с вещественными коэффициентами.
Запишем ее в явном виде (в дираковских обозначениях), используя са-
мосопряженность операторов
d
∆F и
d
∆G:
f(α) =
D
(α
d
∆F − i
d
∆G)Ψ
(α
d
∆F − i
d
∆G)Ψ
E
=
=
D
(
d
∆F )Ψ
(
d
∆F )Ψ
E
α
2
+
D
(
d
∆G)Ψ
(
d
∆G)Ψ
E
−
− i α
D
(
d
∆G)Ψ
(
d
∆F )Ψ
E
∗
+ i α
D
(
d
∆F )Ψ
(
d
∆G)Ψ
E
∗
=
= hΨ|(
d
∆F )
2
|Ψi
∗
α
2
− i hΨ|[
d
∆F ,
d
∆G] |Ψiα + hΨ|(
d
∆G)
2
|Ψi
∗
(1.72)
=
= h(∆F )
2
iα
2
+ hBiα + h(∆G)
2
i > 0.
Поскольку квадратичная форма знакопостоянна при отрицательном
дискриминанте D, из условия положительной определенности f(α) сле-
дует, что
D = hBi
2
− 4h(∆F )
2
ih(∆G)
2
i 6 0,
или
h(∆F )
2
ih(∆G)
2
i >
1
4
hBi
2
. (1.73)
Неравенство (1.73) выполняется в произвольном состоянии и поэтому
решает поставленную задачу. Оно называется соотношением неопре-
деленностей. Напомним, что оператор величины B определяется в со-
ответствии с (1.71).
40 Выберем некоторое состояние Ψ и введем средние значения величин F и G в этом состоянии и вспомогательные эрмитовы операторы d = F̂ − hF i; ∆F d = Ĝ − hGi. ∆G Легко проверить, что они удовлетворяют тому же самому коммутаци- онному соотношению (1.71), что и исходные операторы (среднее значе- ние — обычное число и коммутирует с любым оператором): d , ∆G] [∆F d = iB̂, (1.72) Используя ту же самую волновую функцию, построим функционал Z 2 f (α) = d − i ∆G)Ψ(ξ) (α∆F d dξ. При вещественном α он является положительно определенной квад- ратичной формой относительно α с вещественными коэффициентами. Запишем ее в явном виде (в дираковских обозначениях), используя са- d и ∆G: мосопряженность операторов ∆F d D E d − i ∆G)Ψ f (α) = (α∆F d d − i ∆G)Ψ (α∆F d = D E D E d d 2 d d = (∆F )Ψ (∆F )Ψ α + (∆G)Ψ (∆G)Ψ − D E∗ D E∗ d d d d − i α (∆G)Ψ (∆F )Ψ + i α (∆F )Ψ (∆G)Ψ = d )2 |Ψi∗ α2 − i hΨ| [∆F = hΨ| (∆F d , ∆G] d 2 |Ψi∗ (1.72) d |Ψi α + hΨ| (∆G) = = h(∆F )2 i α2 + hBi α + h(∆G)2 i > 0. Поскольку квадратичная форма знакопостоянна при отрицательном дискриминанте D, из условия положительной определенности f (α) сле- дует, что D = hBi2 − 4h(∆F )2 ih(∆G)2 i 6 0, или 1 h(∆F )2 ih(∆G)2 i > hBi2 . (1.73) 4 Неравенство (1.73) выполняется в произвольном состоянии и поэтому решает поставленную задачу. Оно называется соотношением неопре- деленностей. Напомним, что оператор величины B определяется в со- ответствии с (1.71).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »