Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 40 стр.

UptoLike

40
Выберем некоторое состояние Ψ и введем средние значения величин
F и G в этом состоянии и вспомогательные эрмитовы операторы
d
F =
ˆ
F hF i;
d
G =
ˆ
G hGi.
Легко проверить, что они удовлетворяют тому же самому коммутаци-
онному соотношению (1.71), что и исходные операторы (среднее значе-
ние — обычное число и коммутирует с любым оператором):
[
d
F ,
d
G] = i
ˆ
B, (1.72)
Используя ту же самую волновую функцию, построим функционал
f(α) =
Z
(α
d
F i
d
G)Ψ(ξ)
2
dξ.
При вещественном α он является положительно определенной квад-
ратичной формой относительно α с вещественными коэффициентами.
Запишем ее в явном виде дираковских обозначениях), используя са-
мосопряженность операторов
d
F и
d
G:
f(α) =
D
(α
d
F i
d
G
(α
d
F i
d
G
E
=
=
D
(
d
F
(
d
F
E
α
2
+
D
(
d
G
(
d
G
E
i α
D
(
d
G
(
d
F
E
+ i α
D
(
d
F
(
d
G
E
=
= hΨ|(
d
F )
2
|Ψi
α
2
i hΨ|[
d
F ,
d
G] |Ψiα + hΨ|(
d
G)
2
|Ψi
(1.72)
=
= h(∆F )
2
iα
2
+ hBiα + h(∆G)
2
i > 0.
Поскольку квадратичная форма знакопостоянна при отрицательном
дискриминанте D, из условия положительной определенности f(α) сле-
дует, что
D = hBi
2
4h(∆F )
2
ih(∆G)
2
i 6 0,
или
h(∆F )
2
ih(∆G)
2
i >
1
4
hBi
2
. (1.73)
Неравенство (1.73) выполняется в произвольном состоянии и поэтому
решает поставленную задачу. Оно называется соотношением неопре-
деленностей. Напомним, что оператор величины B определяется в со-
ответствии с (1.71).
                                     40


   Выберем некоторое состояние Ψ и введем средние значения величин
F и G в этом состоянии и вспомогательные эрмитовы операторы
                    d = F̂ − hF i;
                    ∆F                    d = Ĝ − hGi.
                                          ∆G

Легко проверить, что они удовлетворяют тому же самому коммутаци-
онному соотношению (1.71), что и исходные операторы (среднее значе-
ние — обычное число и коммутирует с любым оператором):

                              d , ∆G]
                             [∆F  d = iB̂,                          (1.72)

   Используя ту же самую волновую функцию, построим функционал
                         Z                 2
                 f (α) =     d − i ∆G)Ψ(ξ)
                           (α∆F    d         dξ.

При вещественном α он является положительно определенной квад-
ратичной формой относительно α с вещественными коэффициентами.
Запишем ее в явном виде (в дираковских обозначениях), используя са-
                            d и ∆G:
мосопряженность операторов ∆F     d
         D                             E
             d − i ∆G)Ψ
  f (α) = (α∆F     d        d − i ∆G)Ψ
                         (α∆F     d      =
                D            E     D           E
                  d     d       2    d     d
              = (∆F )Ψ (∆F )Ψ α + (∆G)Ψ (∆G)Ψ −
                D            E∗     D           E∗
                  d     d             d     d
           − i α (∆G)Ψ (∆F )Ψ + i α (∆F )Ψ (∆G)Ψ =

             d )2 |Ψi∗ α2 − i hΨ| [∆F
      = hΨ| (∆F                    d , ∆G]            d 2 |Ψi∗ (1.72)
                                       d |Ψi α + hΨ| (∆G)        =
                                  = h(∆F )2 i α2 + hBi α + h(∆G)2 i > 0.

Поскольку квадратичная форма знакопостоянна при отрицательном
дискриминанте D, из условия положительной определенности f (α) сле-
дует, что
                 D = hBi2 − 4h(∆F )2 ih(∆G)2 i 6 0,
или
                                              1
                        h(∆F )2 ih(∆G)2 i >     hBi2 .              (1.73)
                                              4
Неравенство (1.73) выполняется в произвольном состоянии и поэтому
решает поставленную задачу. Оно называется соотношением неопре-
деленностей. Напомним, что оператор величины B определяется в со-
ответствии с (1.71).