Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

42
ний конкретной квантовой системы. Относительно общего вида уравне-
ния для Ψ(ξ, t) можно лишь утверждать, что оно должно быть линей-
ным и однородным (на основании принципа суперпозиции) и выражать
первую производную ∂Ψ/∂t волновой функции по времени через зна-
чение самой волновой функции в тот же момент времени t. Последнее
обстоятельство обусловлено тем, что волновая функция Ψ(ξ, t) полно-
стью определяет состояние системы в момент времени t, а, следователь-
но, и производную ∂Ψ/∂t в этот момент времени (аналогично тому, как
в классической механике задание обобщенных координат и скоростей
(q
i
(t) и ˙q
i
(t)) однозначно определяет и обобщенные ускорения ¨q
i
(t)). В
наиболее общем виде уравнение, удовлетворяющее указанным услови-
ям, можно записать следующим образом:
i}
∂
∂t
Ψ(ξ, t) =
ˆ
HΨ(ξ, t), (1.75)
где
ˆ
H — некоторый подлежащий определению линейный оператор, име-
ющий размерность энергии (учитывая введенный для удобства множи-
тель i} в левой части уравнения (1.75)).
Из требования сохранения нормировки волновой функции с тече-
нием времени можно установить также, что оператор
ˆ
H должен быть
самосопряженным (эрмитовским). Для этого умножим слева уравнение
(1.75) на Ψ
∗
(ξ, t), а уравнение, комплексно-сопряженное к (1.75):
−i}
∂
∂t
Ψ
∗
(ξ, t) =
ˆ
H
∗
Ψ
∗
(ξ, t), (1.76)
— на Ψ(ξ, t). Вычтем теперь второе соотношение из первого и получен-
ное равенство проинтегрируем по всем возможным значениям ξ, вынося
в левой части производную по времени за знак интеграла:
i}
∂
∂t
hΨ |Ψi =
n
hΨ|
ˆ
H |Ψi − hΨ|
ˆ
H |Ψi
∗
o
.
Для обращения левой части в этом соотношении в нуль (т.е. для сохра-
нения нормировочного интеграла во времени) выражение в фигурных
скобках в правой части также должно обратиться в нуль, что и озна-
чает самосопряженность оператора
ˆ
H в соответствии с (1.42).
В общем случае произвольной квантовой системы явный вид ли-
нейного самосопряженного оператора
ˆ
H (который может также пара-
метрически зависеть от времени при воздействии на систему перемен-
ных внешних полей) должен быть постулирован. Наводящие сообра-
жения для такого постулирования дает пример свободной частицы с
                                      42


ний конкретной квантовой системы. Относительно общего вида уравне-
ния для Ψ(ξ, t) можно лишь утверждать, что оно должно быть линей-
ным и однородным (на основании принципа суперпозиции) и выражать
первую производную ∂Ψ/∂t волновой функции по времени через зна-
чение самой волновой функции в тот же момент времени t. Последнее
обстоятельство обусловлено тем, что волновая функция Ψ(ξ, t) полно-
стью определяет состояние системы в момент времени t, а, следователь-
но, и производную ∂Ψ/∂t в этот момент времени (аналогично тому, как
в классической механике задание обобщенных координат и скоростей
(qi (t) и q̇i (t)) однозначно определяет и обобщенные ускорения q̈i (t)). В
наиболее общем виде уравнение, удовлетворяющее указанным услови-
ям, можно записать следующим образом:
                              ∂
                         i}      Ψ(ξ, t) = ĤΨ(ξ, t),                (1.75)
                              ∂t
где Ĥ — некоторый подлежащий определению линейный оператор, име-
ющий размерность энергии (учитывая введенный для удобства множи-
тель i} в левой части уравнения (1.75)).
    Из требования сохранения нормировки волновой функции с тече-
нием времени можно установить также, что оператор Ĥ должен быть
самосопряженным (эрмитовским). Для этого умножим слева уравнение
(1.75) на Ψ∗ (ξ, t), а уравнение, комплексно-сопряженное к (1.75):
                            ∂ ∗
                      −i}      Ψ (ξ, t) = Ĥ ∗ Ψ∗ (ξ, t),            (1.76)
                            ∂t
 — на Ψ(ξ, t). Вычтем теперь второе соотношение из первого и получен-
ное равенство проинтегрируем по всем возможным значениям ξ, вынося
в левой части производную по времени за знак интеграла:
                   ∂          n                       o
                                                    ∗
                 i} hΨ |Ψi = hΨ| Ĥ |Ψi − hΨ| Ĥ |Ψi .
                   ∂t
Для обращения левой части в этом соотношении в нуль (т.е. для сохра-
нения нормировочного интеграла во времени) выражение в фигурных
скобках в правой части также должно обратиться в нуль, что и озна-
чает самосопряженность оператора Ĥ в соответствии с (1.42).
   В общем случае произвольной квантовой системы явный вид ли-
нейного самосопряженного оператора Ĥ (который может также пара-
метрически зависеть от времени при воздействии на систему перемен-
ных внешних полей) должен быть постулирован. Наводящие сообра-
жения для такого постулирования дает пример свободной частицы с

Страницы