Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

43
определенным импульсом, для которой вид оператора
ˆ
H можно уста-
новить теоретически из следующих рассуждений. Подстановка волны
де-Бройля (1.4) в уравнение (1.75) приводит его к виду
EΨ
p
(r, t) =
ˆ
HΨ
p
(r, t). (1.77)
Поскольку для свободного электрона E = p
2
/(2m), правая часть (1.77)
после действия оператора
ˆ
H на пространственную часть функции
Ψ
p
(r, t) также должна превратиться в
p
2
2m
Ψ
p
(r, t). Наиболее простой
оператор
ˆ
H, приводящий правую часть к такому виду, есть
ˆ
H = −
}
2
2m
∇
2
=
ˆ
p
2
2m
.
Таким образом, уравнение (1.75) для волны де-Бройля можно предста-
вить в виде:
i}
∂
∂t
Ψ
p
(r, t) =
ˆ
T Ψ
p
(r, t), (1.78)
где
ˆ
T есть оператор кинетической энергии электрона:
ˆ
T =
ˆ
p
2
2m
= −
}
2
2m
∇
2
. (1.79)
Как известно, в классической механике кинетическая энергия сво-
бодной частицы T = p
2
/(2m) совпадает с е функцией Гамильтона H:
H(p, r) =
p
2
2m
= T. (1.80)
Поэтому оператор, действующий на Ψ
p
(r, t) в правой части (1.78), мо-
жет быть получен из функции Гамильтона (1.80) заменой p →
ˆ
p =
−i}∇. Другими словами, в правой части (1.78) мы имеем гамильтони-
ан
ˆ
H (оператор Гамильтона) свободной частицы:
ˆ
H =
ˆ
T =
ˆ
p
2
2m
. (1.81)
Теперь становится понятной идея обобщения уравнения (1.78) на слу-
чай электрона во внешнем силовом поле с потенциальной функци-
ей V (r, t). В этом случае классическая функция Гамильтона дается
суммой кинетической энергии и потенциальной функции: H(p, r) =
                                  43


определенным импульсом, для которой вид оператора Ĥ можно уста-
новить теоретически из следующих рассуждений. Подстановка волны
де-Бройля (1.4) в уравнение (1.75) приводит его к виду

                       EΨp (r, t) = ĤΨp (r, t).               (1.77)

Поскольку для свободного электрона E = p2 /(2m), правая часть (1.77)
после действия оператора Ĥ на пространственную часть функции
                                      p2
Ψp (r, t) также должна превратиться в    Ψp (r, t). Наиболее простой
                                      2m
оператор Ĥ, приводящий правую часть к такому виду, есть

                               }2 2   p̂2
                        Ĥ = −    ∇ =     .
                               2m     2m
Таким образом, уравнение (1.75) для волны де-Бройля можно предста-
вить в виде:
                        ∂
                     i}    Ψp (r, t) = T̂ Ψp (r, t),        (1.78)
                        ∂t
где T̂ есть оператор кинетической энергии электрона:

                             p̂2    }2 2
                        T̂ =     =−    ∇ .                     (1.79)
                             2m     2m
   Как известно, в классической механике кинетическая энергия сво-
бодной частицы T = p2 /(2m) совпадает с е функцией Гамильтона H:

                                   p2
                         H(p, r) =    = T.                     (1.80)
                                   2m
Поэтому оператор, действующий на Ψp (r, t) в правой части (1.78), мо-
жет быть получен из функции Гамильтона (1.80) заменой p → p̂ =
−i}∇. Другими словами, в правой части (1.78) мы имеем гамильтони-
ан Ĥ (оператор Гамильтона) свободной частицы:

                                     p̂2
                           Ĥ = T̂ =     .                     (1.81)
                                     2m
Теперь становится понятной идея обобщения уравнения (1.78) на слу-
чай электрона во внешнем силовом поле с потенциальной функци-
ей V (r, t). В этом случае классическая функция Гамильтона дается
суммой кинетической энергии и потенциальной функции: H(p, r) =

Страницы