Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

45
Самый общий вид временн´ого уравнения Шредингера в конфигура-
ционном пространстве
i}
∂
∂t
Ψ(ξ, t) =
ˆ
H(ξ, t)Ψ(ξ, t) (1.86)
получается из классического соотношения H(p
ξ
, ξ) = E по аналогии с
(1.83) с помощью обобщенной замены
p
ξ
→ ˆp
ξ
; E = i}
∂
∂t
, (1.87)
где p
ξ
— обобщенный импульс, соответствующий обобщенной коорди-
нате ξ. При этом необходимо обеспечить самосопряженность гамиль-
тониана! В частности, при наличии в функции Гамильтона произве-
дений типа xp
x
для перехода к гамильтониану необходимо произвести
нетривиальную замену
xp
x
→
1
2
{x, ˆp
x
}.
Приведенные выше соображения о явном виде оператора
ˆ
H в урав-
нении (1.75) для одной квантовой частицы во внешнем силовом по-
ле, а также его обобщение для системы N взаимодействующих частиц,
не являются строгим выводом уравнения Шредингера. В квантовой
механике уравнение Шредингера постулируется подобно уравнению
Ньютона в классической механике и уравнениям Максвелла в класси-
ческой электродинамике.
Временн´ое уравнение Шредингера является уравнением в частных
производных второго порядка по координатам и первого порядка по
времени. В отличие от волновых уравнений классической физики (элек-
тродинамики и акустики), уравнение Шредингера содержит первую
производную по времени с мнимым коэффициентом (этим коэффици-
ентом оно отличается от уравнения диффузии):
i
∂
∂t
(. . .) = −∇
2
(. . .) вместо
∂
∂t
(. . .) = +∇
2
(. . .),
что обеспечивает существование осциллирующих во времени решений
уравнения Шредингера. В качестве начального условия следует взять
значение волновой функции в начальный момент времени Ψ(ξ, 0). Гра-
ничные условия определяются стандартными условиями (требованием
конечности, однозначности и непрерывности).
                                      45


   Самый общий вид временно́го уравнения Шредингера в конфигура-
ционном пространстве

                         ∂
                    i}      Ψ(ξ, t) = Ĥ(ξ, t)Ψ(ξ, t)        (1.86)
                         ∂t

получается из классического соотношения H(pξ , ξ) = E по аналогии с
(1.83) с помощью обобщенной замены

                                                ∂
                         pξ → p̂ξ ;    E = i}      ,         (1.87)
                                                ∂t

где pξ — обобщенный импульс, соответствующий обобщенной коорди-
нате ξ. При этом необходимо обеспечить самосопряженность гамиль-
тониана! В частности, при наличии в функции Гамильтона произве-
дений типа xpx для перехода к гамильтониану необходимо произвести
нетривиальную замену
                                 1
                          xpx → {x, p̂x }.
                                 2
    Приведенные выше соображения о явном виде оператора Ĥ в урав-
нении (1.75) для одной квантовой частицы во внешнем силовом по-
ле, а также его обобщение для системы N взаимодействующих частиц,
не являются строгим выводом уравнения Шредингера. В квантовой
механике уравнение Шредингера постулируется подобно уравнению
Ньютона в классической механике и уравнениям Максвелла в класси-
ческой электродинамике.
    Временно́е уравнение Шредингера является уравнением в частных
производных второго порядка по координатам и первого порядка по
времени. В отличие от волновых уравнений классической физики (элек-
тродинамики и акустики), уравнение Шредингера содержит первую
производную по времени с мнимым коэффициентом (этим коэффици-
ентом оно отличается от уравнения диффузии):
         ∂                               ∂
       i    (. . .) = −∇2 (. . .) вместо    (. . .) = +∇2 (. . .),
         ∂t                              ∂t
что обеспечивает существование осциллирующих во времени решений
уравнения Шредингера. В качестве начального условия следует взять
значение волновой функции в начальный момент времени Ψ(ξ, 0). Гра-
ничные условия определяются стандартными условиями (требованием
конечности, однозначности и непрерывности).

Страницы