Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

44
p
2
2m
+ V (r, t). Заменяя в ней кинетическую энергию на оператор
ˆ
T ,
получаем гамильтониан электрона во внешнем поле
ˆ
H =
ˆ
p
2
2m
+ V (r, t) = −
}
2
2m
∇
2
+ V (r, t). (1.82)
Теперь можно предположить, что уравнение (1.75) с гамильтонианом
(1.82), или (в развернутой записи) уравнение
i}
∂
∂t
Ψ(r, t) =
−
}
2
2m
∇
2
+ V (r, t)
Ψ(r, t) (1.83)
и является уравнением для волновой функции электрона во внешнем
поле V (r, t). Уравнение (1.75) для волновой функции, в котором опера-
тор
ˆ
H является гамильтонианом квантовой системы, было предложено
Э. Шредингером в 1926 г. и является основным уравнением кванто-
вой механики. Оно называется временн´ым уравнением Шредингера и
в квантовой теории играет ту же роль, что и уравнения Ньютона в
классической механике: зная состояние системы в начальный момент
времени t = t
0
(т.е. начальное состояние Ψ(r, t
0
)), оно позволяет по-
лучить волновую функцию этого состояния в произвольный момент
времени t.
На основании анализа структуры уравнения (1.83) можно сформу-
лировать следующее правило для формального построения уравнения
Шредингера квантовой системы, для которой классическая функция
Гамильтона имеет известный вид H(p, r): в классическом соотношении
H(p, r) = E осуществляется замена
p →
ˆ
p = −i}∇ = −i}
∂
∂r
; E = i}
∂
∂t
, (1.84)
а затем к обеим его частям справа добавляется функция Ψ(r, t).
Для важного случая системы N взаимодействующих частиц с пар-
ным взаимодействием U(r, r
0
), движущихся во внешнем силовом поле
V (r, t), гамильтониан принимает вид:
ˆ
H =
N
X
i=1
−
}
2
2m
i
∇
2
i
+
N
X
i=1
V
i
(r
i
, t) +
N
X
i,j=1
i<j
U
ij
(r
i
, r
j
). (1.85)
Здесь m
i
— масса i-й частицы, а ∇
i
= ∂/∂r
i
— оператор дифференци-
рования по радиус-вектору i-й частицы.
                                         44


 p2
    + V (r, t). Заменяя в ней кинетическую энергию на оператор T̂ ,
2m
получаем гамильтониан электрона во внешнем поле

                      p̂2                }2 2
                 Ĥ =     + V (r, t) = −    ∇ + V (r, t).                  (1.82)
                      2m                 2m
Теперь можно предположить, что уравнение (1.75) с гамильтонианом
(1.82), или (в развернутой записи) уравнение
                                                      
                  ∂                     }2 2
               i}    Ψ(r, t) =        −    ∇ + V (r, t) Ψ(r, t)            (1.83)
                  ∂t                    2m

и является уравнением для волновой функции электрона во внешнем
поле V (r, t). Уравнение (1.75) для волновой функции, в котором опера-
тор Ĥ является гамильтонианом квантовой системы, было предложено
Э. Шредингером в 1926 г. и является основным уравнением кванто-
вой механики. Оно называется временны́м уравнением Шредингера и
в квантовой теории играет ту же роль, что и уравнения Ньютона в
классической механике: зная состояние системы в начальный момент
времени t = t0 (т.е. начальное состояние Ψ(r, t0 )), оно позволяет по-
лучить волновую функцию этого состояния в произвольный момент
времени t.
   На основании анализа структуры уравнения (1.83) можно сформу-
лировать следующее правило для формального построения уравнения
Шредингера квантовой системы, для которой классическая функция
Гамильтона имеет известный вид H(p, r): в классическом соотношении
H(p, r) = E осуществляется замена

                                              ∂               ∂
                  p → p̂ = −i}∇ = −i}            ;   E = i}      ,         (1.84)
                                              ∂r              ∂t

а затем к обеим его частям справа добавляется функция Ψ(r, t).
    Для важного случая системы N взаимодействующих частиц с пар-
ным взаимодействием U (r, r 0 ), движущихся во внешнем силовом поле
V (r, t), гамильтониан принимает вид:

           XN               XN                  XN
                  }2      2
      Ĥ =     −         ∇i +     Vi (r i , t) +       Uij (r i , r j ).   (1.85)
           i=1
                 2m  i        i=1                i,j=1
                                                     i

Страницы