Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 46 стр.

                                      46


1.13.    Плотность потока вероятности
    Согласно гипотезе М. Борна, квадрат модуля волновой функции да-
ет плотности вероятности распределения частицы. Объемная же плот-
ность ρcl (r, t) скалярной физической величины (массы, заряда, энергии
и т.д.) подчиняется уравнению непрерывности
                      ∂
                         ρcl (r, t) + div j cl (r, t) = 0,         (1.88)
                      ∂t
выражающему закон сохранения этой физической величины. Здесь
j cl (r, t) — плотность ее потока.
      Поскольку для плотности вероятности распределения микрочасти-
цы в 3-мерном пространстве

                            ρ(r, t) = |Ψ(r, t)|2                   (1.89)

нормировочный интеграл не меняется с течением времени (вследствие
сохранения вещества в нерелятивистской механике), для этой плот-
ности тоже должно выполняться уравнение непрерывности (1.88). Тре-
буется лишь выразить плотность потока вероятности j(r, t) через
волновую функцию, подобно (1.89).
   Для установления вида j(r, t) запишем уравнение, комплексно-
сопряженное уравнению Шредингера (1.83):
                                              
                ∂ ∗             }2 2
            −i}    Ψ (r, t) = −    ∇ + V (r, t) Ψ∗ (r, t).  (1.90)
                ∂t              2m
Умножим теперь уравнение (1.83) на Ψ∗ (r, t), а (1.90) — на Ψ(r, t) и
вычтем из первого соотношения второе:
                                         
              ∂                 ∂
  i} Ψ∗ (r, t) Ψ(r, t) + Ψ(r, t) Ψ∗ (r, t) =
              ∂t                ∂t
                    }2  ∗
                 =−     Ψ (r, t)∇2 Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇2 Ψ∗ (r, t) . (1.91)
                    2m
Левая часть (1.91) сводится к производной произведения функций, т.е.
в соответствии с (1.89) к производной ρ(r, t) по времени. Правую часть
(1.91) можно преобразовать по формулам векторного анализа:
             div(f grad g) = ∇(f ∇g) = (∇f )(∇g) + f ∇2 g,
откуда
                    f ∇2 g = div(f ∇g) − (∇f )(∇g).