Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 47 стр.

                                        47


Следовательно,

  Ψ∗ (r, t)∇2 Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇2 Ψ∗ (r, t) =
                       = div{Ψ∗ (r, t)∇Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇Ψ∗ (r, t)} .   (1.92)
Учитывая (1.89) и (1.92) и сопоставляя (1.88) и (1.91), получаем сле-
дующее выражение для плотности потока вероятности в состоянии с
волновой функцией Ψ(r, t):

                     }
        j(r, t) =       [Ψ∗ (r, t)∇Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇Ψ∗ (r, t)].        (1.93)
                    2mi
Напомним, что m — масса частицы. Обратим внимание, что j(r, t) = 0
в случае вещественной волновой функции.
   Стандартное условие непрерывности волновой функции необходи-
мо для обеспечения конечности плотности потока вероятности.
   Рассмотрим электрон в состоянии с волновой функцией Ψ(r, t). В
соответствии с (1.89) пространственное распределение заряда в состо-
янии Ψ(r, t) есть
                       ρe (r, t) = −eρ(r, t) = −e|Ψ(r, t)|2 .           (1.94)
Здесь −e (e > 0) — заряд электрона. В классической механике распре-
деление точечного заряда задается δ-функцией. В квантовой механике
плотность заряда оказывается «размазанной» («облако» электрическо-
го заряда) вследствие отсутствия определенной траектории движения
электрона. Аналогичным образом из (1.93) получаем выражение для
плотности электрического тока, создаваемого электроном в состоянии
Ψ(r, t):
                        e}
      j e (r, t) = −       [Ψ∗ (r, t)∇Ψ(r, t) − Ψ(r, t)∇Ψ∗ (r, t)].     (1.95)
                       2mi
   В применении к волне де-Бройля (1.4) плотность потока вероятно-
сти по формуле (1.93) имеет вид:
                                                   p
                              j(r, t) = j = |C|2     .
                                                   m
Поэтому волну де-Бройля можно нормировать и на заданный вид плот-
ности потока вероятности. В частности, при C = 1 плотность потока
в плоской волне совпадает с классической скоростью движения ча-
стицы:
                                 p
                            j=     = v.
                                m