Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

48
1.14. Стационарные состояния
В микромире особая роль отводится системам со стационарным га-
мильтонианом, т.е. не зависящим от времени явно (
ˆ
H(ξ, t) =
ˆ
H(ξ)),
что соответствует, в частности, микрочастицам, движущимся в посто-
янных внешних полях. Для таких систем согласно известному методу
разделения переменных можно получить решения временного уравне-
ния Шредингера
i}
∂
∂t
Ψ(ξ, t) =
ˆ
H(ξ)Ψ(ξ, t) (1.96)
с факторизованной зависимостью от времени и координат:
Ψ(ξ, t) = Ψ(ξ)T (t), (1.97)
где функции Ψ(ξ) и T (t) подлежат определению.
Подстановка (1.97) в (1.96) приводит к двум уравнениям:
i}
T (t)
dT (t)
dt
=
ˆ
H(ξ)Ψ(ξ)
Ψ(ξ)
= E, (1.98)
где E — константа разделения. Для функции T (t) получаем:
T (t) = T
0
exp
−
i
}
Et
, (1.99)
где T
0
— произвольный постоянный множитель. Константа разделения
является собственным значением гамильтониана:
ˆ
H(ξ)Ψ
E
(ξ) = EΨ
E
(ξ). (1.100)
Уравнение (1.100) называется стационарным уравнением Шредингера.
Оно определяет состояния с определенными значениями величины, со-
ответствующей гамильтониану. Ее размерность совпадает с размерно-
стью энергии, поэтому E в уравнении (1.100) есть определенное значе-
ние энергии. По этой причине гамильтониан также называется опера-
тором полной энергии.
Определение. Состояния с определенными значениями энергии
называются стационарными.
Таким образом, если гамильтониан не зависит явно от време-
ни, квантовая система может находиться в стационарных состояниях.
Структура их волновых функций
Ψ
E
(ξ, t) = Ψ
E
(ξ) exp
−
i
}
Et
, (1.101)
                                 48


1.14.   Стационарные состояния
   В микромире особая роль отводится системам со стационарным га-
мильтонианом, т.е. не зависящим от времени явно (Ĥ(ξ, t) = Ĥ(ξ)),
что соответствует, в частности, микрочастицам, движущимся в посто-
янных внешних полях. Для таких систем согласно известному методу
разделения переменных можно получить решения временного уравне-
ния Шредингера
                          ∂
                       i}    Ψ(ξ, t) = Ĥ(ξ)Ψ(ξ, t)          (1.96)
                          ∂t
с факторизованной зависимостью от времени и координат:
                         Ψ(ξ, t) = Ψ(ξ)T (t),                  (1.97)
где функции Ψ(ξ) и T (t) подлежат определению.
   Подстановка (1.97) в (1.96) приводит к двум уравнениям:
                      i} dT (t)   Ĥ(ξ)Ψ(ξ)
                                =           = E,               (1.98)
                     T (t) dt       Ψ(ξ)
где E — константа разделения. Для функции T (t) получаем:
                                        
                                      i
                      T (t) = T0 exp − Et ,                    (1.99)
                                      }
где T0 — произвольный постоянный множитель. Константа разделения
является собственным значением гамильтониана:

                       Ĥ(ξ)ΨE (ξ) = EΨE (ξ).                 (1.100)

Уравнение (1.100) называется стационарным уравнением Шредингера.
Оно определяет состояния с определенными значениями величины, со-
ответствующей гамильтониану. Ее размерность совпадает с размерно-
стью энергии, поэтому E в уравнении (1.100) есть определенное значе-
ние энергии. По этой причине гамильтониан также называется опера-
тором полной энергии.
   Определение. Состояния с определенными значениями энергии
называются стационарными.
   Таким образом, если гамильтониан не зависит явно от време-
ни, квантовая система может находиться в стационарных состояниях.
Структура их волновых функций
                                              
                                            i
                    ΨE (ξ, t) = ΨE (ξ) exp − Et ,             (1.101)
                                            }

Страницы