Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

50
мени, то ее среднее значение в стационарном состоянии не зависит
от времени. Доказательство очевидно, если воспользоваться формулой
(1.29).
Перечисленные свойства делают стационарные состояния удобны-
ми для исследования квантовых систем с не зависящим от времени
гамильтонианом.
Рассмотрим трехмерное движение частицы c массой m в постоянном
силовом поле с потенциальной энергией V (r). Стационарное уравнение
Шредингера (1.100) в этом случае приобретает вид:
−
}
2
2m
∇
2
Ψ
E
(r) + V (r)Ψ
E
(r) = EΨ
E
(r). (1.103)
По своей структуре оно идентично классическому уравнению для сто-
ячих волн в среде с переменным показателем преломления.
1.15. Дифференцирование операторов по времени
Если ввести явным образом время t в определение (1.29) для сред-
него значения
hF i =
Z
Ψ
∗
(ξ, t)
ˆ
F (t)Ψ(ξ, t) dξ, (1.104)
то видно, что в общем случае среднее значение величины F зависит от
времени, причем эта зависимость может быть обусловлена как тем, что
квантовая система находится в нестационарном состоянии Ψ(ξ, t), так
и явной зависимостью от времени самого оператора физической вели-
чины F :
ˆ
F =
ˆ
F (t), так что ∂
ˆ
F /∂t 6= 0 (правда, это случается крайне
редко — лишь для некоторых характеристик системы, находящейся во
внешнем переменном силовом поле). Хотя производную по времени от
среднего значения величины F легко определить прямым дифференци-
рованием соотношения (1.104), естественно попытаться получить более
общий результат — построить оператор производной величины F по
времени, то есть оператор
ˆ
dF
dt
, соответствующий величине
dF
dt
, который,
в частности, позволит получить и производную от среднего значения
величины F по общей формуле (1.104) для средних значений:
d
dt
hF i
def
= h
dF
dt
i =
Z
Ψ
∗
(ξ, t)
ˆ
dF
dt
Ψ(ξ, t) dξ, . (1.105)
                                       50


мени, то ее среднее значение в стационарном состоянии не зависит
от времени. Доказательство очевидно, если воспользоваться формулой
(1.29).
    Перечисленные свойства делают стационарные состояния удобны-
ми для исследования квантовых систем с не зависящим от времени
гамильтонианом.
    Рассмотрим трехмерное движение частицы c массой m в постоянном
силовом поле с потенциальной энергией V (r). Стационарное уравнение
Шредингера (1.100) в этом случае приобретает вид:

                    }2 2
                −      ∇ ΨE (r) + V (r)ΨE (r) = EΨE (r).              (1.103)
                    2m

По своей структуре оно идентично классическому уравнению для сто-
ячих волн в среде с переменным показателем преломления.

1.15.    Дифференцирование операторов по времени
   Если ввести явным образом время t в определение (1.29) для сред-
него значения            Z
                   hF i = Ψ∗ (ξ, t)F̂ (t)Ψ(ξ, t) dξ,        (1.104)

то видно, что в общем случае среднее значение величины F зависит от
времени, причем эта зависимость может быть обусловлена как тем, что
квантовая система находится в нестационарном состоянии Ψ(ξ, t), так
и явной зависимостью от времени самого оператора физической вели-
чины F : F̂ = F̂ (t), так что ∂ F̂ /∂t 6= 0 (правда, это случается крайне
редко — лишь для некоторых характеристик системы, находящейся во
внешнем переменном силовом поле). Хотя производную по времени от
среднего значения величины F легко определить прямым дифференци-
рованием соотношения (1.104), естественно попытаться получить более
общий результат — построить оператор производной величины F по
времени, то есть оператор dFˆ                                dF
                            dt , соответствующий величине dt , который,
в частности, позволит получить и производную от среднего значения
величины F по общей формуле (1.104) для средних значений:
                                   Z                ˆ
               d       def dF                      dF
                  hF i = h    i=       Ψ∗ (ξ, t)      Ψ(ξ, t) dξ, .   (1.105)
               dt          dt                      dt

Страницы