Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

51
Вид искомого оператора легко получить дифференцированием вы-
ражения (1.104), выполняя дифференцирование под знаком интеграла
и рассматривая подынтегральное выражение как произведение трех со-
множителей:
d
dt
hF i = h∂
t
Ψ|
ˆ
F |Ψi + hΨ|
∂
ˆ
F
∂t
|Ψi + hΨ|
ˆ
F |∂
t
Ψi
(1.86)
=
= −
1
i}
D
ˆ
HΨ
ˆ
F
Ψ
E
+
D
Ψ
∂
ˆ
F
∂t
Ψ
E
+
1
i}
D
Ψ
ˆ
F
ˆ
HΨ
E
. (1.106)
Полная производная в этих вычислениях заменена частной, поскольку
волновые функции и оператор
ˆ
F зависят от времени только явно. Пре-
образуем теперь первое слагаемое в последней строке (1.106), учитывая
самосопряженность гамильтониана:
D
ˆ
HΨ
ˆ
F
Ψ
E
=
D
ˆ
HΨ
ˆ
F Ψ
E
(1.12)
=
D
ˆ
F Ψ
ˆ
HΨ
E
∗
(1.42)
= hΨ|
ˆ
H
ˆ
F |Ψi.
В результате (1.106) принимает вид:
d
dt
hF i = hΨ|
∂
ˆ
F
∂t
|Ψi +
1
i}
hΨ|[
ˆ
F ,
ˆ
H] |Ψi
(1.105)
= hΨ|
ˆ
dF
dt
|Ψi.
Чтобы данное равенство, в соответствии с определением (1.105), вы-
полнялось для произвольного состояния Ψ, должно выполняться опе-
раторное равенство:
ˆ
dF
dt
=
∂
ˆ
F
∂t
+
1
i}
[
ˆ
F ,
ˆ
H]. (1.107)
Выражение (1.107) решает поставленную задачу, т.е. дает определе-
ние оператора производной по времени физической величины F через
частную производную оператора
ˆ
F по времени и коммутатор оператора
ˆ
F с гамильтонианом. Соотношение (1.107) можно понимать и как опре-
деление производной по времени оператора
ˆ
F физической величины F ,
т.е. оператора
d
ˆ
F
dt
, не забывая при этом об условности этого понятия:
это не определение производной по времени абстрактного оператора
(например, оператора импульса
ˆ
p = −i}∇ как такового, т.е. для любой
квантовой частицы), а производная по времени оператора
ˆ
F , относя-
щегося к конкретной квантовой системе с гамильтонианом
ˆ
H. Поэто-
му, например, для свободного электрона
d
ˆ
p
dt
= 0, а для электрона во
                                     51


   Вид искомого оператора легко получить дифференцированием вы-
ражения (1.104), выполняя дифференцирование под знаком интеграла
и рассматривая подынтегральное выражение как произведение трех со-
множителей:

  d                             ∂ F̂                      (1.86)
     hF i = h∂t Ψ| F̂ |Ψi + hΨ|      |Ψi + hΨ| F̂ |∂t Ψi =
  dt                            ∂t
                  1 D           E     D ∂ F̂     E      1 D         E
            =−         ĤΨ F̂ Ψ + Ψ           Ψ +           Ψ F̂ ĤΨ . (1.106)
                 i}                       ∂t           i}
Полная производная в этих вычислениях заменена частной, поскольку
волновые функции и оператор F̂ зависят от времени только явно. Пре-
образуем теперь первое слагаемое в последней строке (1.106), учитывая
самосопряженность гамильтониана:
     D         E D          E (1.12) D          E∗ (1.42)
       ĤΨ F̂ Ψ = ĤΨ F̂ Ψ      =      F̂ Ψ ĤΨ      = hΨ| Ĥ F̂ |Ψi .

В результате (1.106) принимает вид:

        d             ∂ F̂       1                (1.105)  ˆ
                                                          dF
           hF i = hΨ|      |Ψi + hΨ| [F̂ , Ĥ] |Ψi = hΨ|     |Ψi.
        dt            ∂t        i}                        dt
Чтобы данное равенство, в соответствии с определением (1.105), вы-
полнялось для произвольного состояния Ψ, должно выполняться опе-
раторное равенство:

                           ˆ
                          dF   ∂ F̂   1
                             =      + [F̂ , Ĥ].                      (1.107)
                          dt   ∂t    i}

    Выражение (1.107) решает поставленную задачу, т.е. дает определе-
ние оператора производной по времени физической величины F через
частную производную оператора F̂ по времени и коммутатор оператора
F̂ с гамильтонианом. Соотношение (1.107) можно понимать и как опре-
деление производной по времени оператора F̂ физической величины F ,
               dF̂
т.е. оператора     , не забывая при этом об условности этого понятия:
               dt
это не определение производной по времени абстрактного оператора
(например, оператора импульса p̂ = −i}∇ как такового, т.е. для любой
квантовой частицы), а производная по времени оператора F̂ , относя-
щегося к конкретной квантовой системе с гамильтонианом Ĥ. Поэто-
                                          dp̂
му, например, для свободного электрона        = 0, а для электрона во
                                          dt

Страницы