ВУЗ:
Составители:
39
т.е. функция Ψ
n
(ξ) является общей собственной функцией для обоих
операторов. Достаточность доказана.
Данный критерий обобщается и на случай вырожденного спектра
(см. [1] основной литературы).
Заметим, что доказанный критерий требует только линейности и
справедлив даже для неэрмитовых операторов. Случай неэрмитова опе-
ратора возникает, в частности, при доказательстве теоремы Блоха в
курсе «Физика твердого тела».
Как следствие, для совместной измеримости двух физических ве-
личин необходимо и достаточно, чтобы их операторы коммутирова-
ли.
Приведем примеры пар совместно измеримых величин: (x, p
y
),
(z, L
z
), (p
x
, L
x
), (L
z
, L
2
).
Примеры пар совместно неизмеримых величин: (x, p
x
), (x, L
y
),
(p
x
, L
y
), (L
x
, L
y
). Обратим особое внимание на одноименные декартовы
компоненты координаты и импульса: они совместно неизмеримы, т.е. в
микромире отсутствует понятие классической траектории!
1.11. Соотношение неопределенностей
Рассмотрим две совместно неизмеримые величины F и G. Для них
отсутствуют состояния, в которых они обе имели бы определенные зна-
чения. Это проявляется в том, что их измерение в любом одном и том
же состоянии даст хотя бы для одной из этих величин ненулевой раз-
брос определенных значений. Как известно, такой разброс характери-
зуется среднеквадратичным отклонением. Получим общее соотноше-
ние между среднеквадратичными отклонениями h(∆F )
2
i и h(∆G)
2
i в
произвольном состоянии Ψ.
Рассмотрим вначале несколько пар совместно неизмеримых вели-
чин. Коммутаторы их операторов будут ненулевыми:
[x, ˆp
x
] = i}; [x,
ˆ
L
y
] = i}z; [ˆp
x
,
ˆ
L
y
] = i} ˆp
z
; [
ˆ
L
x
,
ˆ
L
y
] = i}
ˆ
L
z
.
Структура всех этих коммутаторов одинакова:
[
ˆ
F ,
ˆ
G] = i
ˆ
B, (1.71)
где
ˆ
B — самосопряженный оператор (напомним, что коммутатор двух
эрмитовых операторов всегда антиэрмитов — отсюда и мнимая единица
в правой части (1.71)).
39 т.е. функция Ψn (ξ) является общей собственной функцией для обоих операторов. Достаточность доказана. Данный критерий обобщается и на случай вырожденного спектра (см. [1] основной литературы). Заметим, что доказанный критерий требует только линейности и справедлив даже для неэрмитовых операторов. Случай неэрмитова опе- ратора возникает, в частности, при доказательстве теоремы Блоха в курсе «Физика твердого тела». Как следствие, для совместной измеримости двух физических ве- личин необходимо и достаточно, чтобы их операторы коммутирова- ли. Приведем примеры пар совместно измеримых величин: (x, py ), (z, Lz ), (px , Lx ), (Lz , L2 ). Примеры пар совместно неизмеримых величин: (x, px ), (x, Ly ), (px , Ly ), (Lx , Ly ). Обратим особое внимание на одноименные декартовы компоненты координаты и импульса: они совместно неизмеримы, т.е. в микромире отсутствует понятие классической траектории! 1.11. Соотношение неопределенностей Рассмотрим две совместно неизмеримые величины F и G. Для них отсутствуют состояния, в которых они обе имели бы определенные зна- чения. Это проявляется в том, что их измерение в любом одном и том же состоянии даст хотя бы для одной из этих величин ненулевой раз- брос определенных значений. Как известно, такой разброс характери- зуется среднеквадратичным отклонением. Получим общее соотноше- ние между среднеквадратичными отклонениями h(∆F )2 i и h(∆G)2 i в произвольном состоянии Ψ. Рассмотрим вначале несколько пар совместно неизмеримых вели- чин. Коммутаторы их операторов будут ненулевыми: [x, p̂x ] = i}; [x, L̂y ] = i}z; [p̂x , L̂y ] = i}p̂z ; [L̂x , L̂y ] = i}L̂z . Структура всех этих коммутаторов одинакова: [F̂ , Ĝ] = iB̂, (1.71) где B̂ — самосопряженный оператор (напомним, что коммутатор двух эрмитовых операторов всегда антиэрмитов — отсюда и мнимая единица в правой части (1.71)).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- …
- следующая ›
- последняя »