Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 39 стр.

                                           39


т.е. функция Ψn (ξ) является общей собственной функцией для обоих
операторов. Достаточность доказана.
    Данный критерий обобщается и на случай вырожденного спектра
(см. [1] основной литературы).
    Заметим, что доказанный критерий требует только линейности и
справедлив даже для неэрмитовых операторов. Случай неэрмитова опе-
ратора возникает, в частности, при доказательстве теоремы Блоха в
курсе «Физика твердого тела».
    Как следствие, для совместной измеримости двух физических ве-
личин необходимо и достаточно, чтобы их операторы коммутирова-
ли.
    Приведем примеры пар совместно измеримых величин: (x, py ),
(z, Lz ), (px , Lx ), (Lz , L2 ).
    Примеры пар совместно неизмеримых величин: (x, px ), (x, Ly ),
(px , Ly ), (Lx , Ly ). Обратим особое внимание на одноименные декартовы
компоненты координаты и импульса: они совместно неизмеримы, т.е. в
микромире отсутствует понятие классической траектории!

1.11.     Соотношение неопределенностей
   Рассмотрим две совместно неизмеримые величины F и G. Для них
отсутствуют состояния, в которых они обе имели бы определенные зна-
чения. Это проявляется в том, что их измерение в любом одном и том
же состоянии даст хотя бы для одной из этих величин ненулевой раз-
брос определенных значений. Как известно, такой разброс характери-
зуется среднеквадратичным отклонением. Получим общее соотноше-
ние между среднеквадратичными отклонениями h(∆F )2 i и h(∆G)2 i в
произвольном состоянии Ψ.
   Рассмотрим вначале несколько пар совместно неизмеримых вели-
чин. Коммутаторы их операторов будут ненулевыми:

     [x, p̂x ] = i};   [x, L̂y ] = i}z;   [p̂x , L̂y ] = i}p̂z ;   [L̂x , L̂y ] = i}L̂z .

Структура всех этих коммутаторов одинакова:

                                     [F̂ , Ĝ] = iB̂,                                   (1.71)

где B̂ — самосопряженный оператор (напомним, что коммутатор двух
эрмитовых операторов всегда антиэрмитов — отсюда и мнимая единица
в правой части (1.71)).