Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
степени искусственной, поскольку реальное движение всегда происхо-
дит в конечной области пространства. С такой проблемой мы уже стал-
кивались при нормировке волн де-Бройля. Для ее решения мы ограни-
чили область движения частицы. Здесь же мы изложим другой способ,
позволяющий обойти трудности с расходимостями при анализе волно-
вых функций непрерывного спектра.
Поскольку собственные функции эрмитова оператора с непрерыв-
ным спектром ненормируемы стандартным образом (хотя и конечны
во всем пространстве), они уже не принадлежат гильбертову простран-
ству L
2
. Тем не менее, как показывается в функциональном анализе,
они по-прежнему образуют базис этого пространства, то есть всякая
нормируемая функция Ψ(ξ) может быть представлена в виде «обоб-
щенного интеграла Фурье», соответствующего замене суммирования в
разложении (1.55) на интегрирование по всем возможным значениям F :
Ψ(ξ) =
Z
c
F
Ψ
F
(ξ) dF. (1.62)
Соответственно математическая запись условия полноты системы
функций Ψ
F
(ξ) получается из (1.57) заменой c
n
на c
F
и интегриро-
ванием по F :
hΨ |Ψi ≡
Z
Ψ
∗
(ξ)Ψ(ξ) dξ =
Z
|c
F
|
2
dF . (1.63)
Если функция Ψ(ξ) нормированная, то из (1.63) следует «условие нор-
мировки» для коэффициентов c
F
:
Z
|c
F
|
2
dF =
Z
c
∗
F
c
F
dF = 1. (1.64)
Обобщение нормировочного условия (1.54) на случай состояний
непрерывного спектра можно получить, если переписать соотношение
(1.63) (с учетом (1.64)) в виде (после изменения порядка интегрирова-
ния):
Z
Ψ
∗
(ξ)Ψ(ξ) dξ
| {z }
1
(1.62)
=
ZZ
Z
Ψ
∗
F
0
(ξ)Ψ
F
(ξ) dξ
c
∗
F
0
c
F
dF
0
dF = 1.
Отсюда видно, что для согласования с (1.64) необходимо, чтобы квад-
ратная скобка в этом выражении являлась дельта-функцией δ(F
0
−F ):
hΨ
F
0
|Ψ
F
i =
Z
Ψ
∗
F
0
(ξ)Ψ
F
(ξ) dξ = δ(F
0
− F ). (1.65)
                                   35


степени искусственной, поскольку реальное движение всегда происхо-
дит в конечной области пространства. С такой проблемой мы уже стал-
кивались при нормировке волн де-Бройля. Для ее решения мы ограни-
чили область движения частицы. Здесь же мы изложим другой способ,
позволяющий обойти трудности с расходимостями при анализе волно-
вых функций непрерывного спектра.
   Поскольку собственные функции эрмитова оператора с непрерыв-
ным спектром ненормируемы стандартным образом (хотя и конечны
во всем пространстве), они уже не принадлежат гильбертову простран-
ству L2 . Тем не менее, как показывается в функциональном анализе,
они по-прежнему образуют базис этого пространства, то есть всякая
нормируемая функция Ψ(ξ) может быть представлена в виде «обоб-
щенного интеграла Фурье», соответствующего замене суммирования в
разложении (1.55) на интегрирование по всем возможным значениям F :
                               Z
                         Ψ(ξ) = cF ΨF (ξ) dF.                 (1.62)

Соответственно математическая запись условия полноты системы
функций ΨF (ξ) получается из (1.57) заменой cn на cF и интегриро-
ванием по F :
                       Z                Z
               hΨ |Ψi ≡ Ψ (ξ)Ψ(ξ) dξ = |cF |2 dF .
                           ∗
                                                            (1.63)

Если функция Ψ(ξ) нормированная, то из (1.63) следует «условие нор-
мировки» для коэффициентов cF :
                   Z            Z
                     |cF |2 dF = c∗F cF dF = 1.              (1.64)

    Обобщение нормировочного условия (1.54) на случай состояний
непрерывного спектра можно получить, если переписать соотношение
(1.63) (с учетом (1.64)) в виде (после изменения порядка интегрирова-
ния):
     Z                      Z Z Z                  
          ∗          (1.62)
        Ψ (ξ)Ψ(ξ) dξ =             ΨF 0 (ξ)ΨF (ξ) dξ c∗F 0 cF dF 0 dF = 1.
                                    ∗

     |      {z     }
           1

Отсюда видно, что для согласования с (1.64) необходимо, чтобы квад-
ратная скобка в этом выражении являлась дельта-функцией δ(F 0 − F ):
                          Z
             hΨF 0 |ΨF i = Ψ∗F 0 (ξ)ΨF (ξ) dξ = δ(F 0 − F ).  (1.65)

Страницы