ВУЗ:
Составители:
33
Строгое доказательство полноты системы собственных функций эр-
митова оператора (то есть возможности однозначного представления
любой функции Ψ(ξ) из L
2
в виде ряда (1.55)) дается в курсе функци-
онального анализа. Математически условие полноты системы {Ψ
n
(ξ)}
можно записать в двух видах. Во-первых, если справедливо разложе-
ние (1.55)), то легко получить следующее условие (аналогичное усло-
вию замкнутости в теории рядов Фурье) для всякой функции Ψ(ξ) из
L
2
:
hΨ |Ψi =
X
n
0
n
c
∗
n
0
c
n
hΨ
n
0
|Ψ
n
i
| {z }
δ
n
0
n
=
X
n
|c
n
|
2
. (1.57)
Из соотношения (1.57) можно получить условие полноты системы
функций Ψ
n
(ξ) и в следующем виде, не содержащем произвольной
функции Ψ(ξ):
X
n
Ψ
n
(ξ)Ψ
∗
n
(ξ
0
) = δ(ξ − ξ
0
). (1.58)
Для доказательства перепишем (1.57) с учетом формулы (1.56) для c
n
:
X
n
|c
n
|
2
=
X
n
c
∗
n
c
n
=
X
n
Z
Ψ
n
(ξ)Ψ
∗
(ξ) dξ
Z
Ψ
∗
n
(ξ
0
)Ψ(ξ
0
) dξ
0
Z
(
Z
Ψ
∗
(ξ)
"
X
n
Ψ
n
(ξ)Ψ
∗
n
(ξ
0
)
#
dξ
)
Ψ(ξ
0
)dξ
0
=
Z
Ψ
∗
(ξ
0
)Ψ(ξ
0
)dξ
0
. (1.59)
Из последнего равенства в этом соотношении следует
Ψ
∗
(ξ
0
) =
Z
Ψ
∗
(ξ)
"
X
n
Ψ
n
(ξ)Ψ
∗
n
(ξ
0
)
#
dξ
что, в соответствии с основным свойством δ-функции, и дает условие
полноты в форме (1.58). Можно также проверить и обратное утвер-
ждение (самостоятельно!): из условия (1.58) следует справедливость
соотношения (1.57) для любой функции Ψ(ξ) из L
2
.
Возвращаясь к квантовой теории, покажем, что коэффициентам
разложения в (1.55) можно придать важный физический смысл.
Если функция Ψ(ξ) в левой части (1.55) нормирована на единицу,
то из условия полноты (1.57) следует «условие нормировки» коэффи-
циентов:
X
n
|c
n
|
2
= 1. (1.60)
33 Строгое доказательство полноты системы собственных функций эр- митова оператора (то есть возможности однозначного представления любой функции Ψ(ξ) из L2 в виде ряда (1.55)) дается в курсе функци- онального анализа. Математически условие полноты системы {Ψn (ξ)} можно записать в двух видах. Во-первых, если справедливо разложе- ние (1.55)), то легко получить следующее условие (аналогичное усло- вию замкнутости в теории рядов Фурье) для всякой функции Ψ(ξ) из L2 : X X hΨ |Ψi = c∗n0 cn hΨn0 |Ψn i = |cn |2 . (1.57) | {z } n 0 nn δn 0 n Из соотношения (1.57) можно получить условие полноты системы функций Ψn (ξ) и в следующем виде, не содержащем произвольной функции Ψ(ξ): X Ψn (ξ)Ψ∗n (ξ 0 ) = δ(ξ − ξ 0 ). (1.58) n Для доказательства перепишем (1.57) с учетом формулы (1.56) для cn : X X XZ Z 2 ∗ |cn | = cn cn = Ψn (ξ)Ψ (ξ) dξ Ψ∗n (ξ 0 )Ψ(ξ 0 ) dξ 0 ∗ n n n Z (Z " X # ) Z ∗ Ψ (ξ) Ψn (ξ)Ψ∗n (ξ 0 ) dξ 0 Ψ(ξ )dξ = 0 Ψ∗ (ξ 0 )Ψ(ξ 0 )dξ 0 . (1.59) n Из последнего равенства в этом соотношении следует Z " # X Ψ∗ (ξ 0 ) = Ψ∗ (ξ) Ψn (ξ)Ψ∗n (ξ 0 ) dξ n что, в соответствии с основным свойством δ-функции, и дает условие полноты в форме (1.58). Можно также проверить и обратное утвер- ждение (самостоятельно!): из условия (1.58) следует справедливость соотношения (1.57) для любой функции Ψ(ξ) из L2 . Возвращаясь к квантовой теории, покажем, что коэффициентам разложения в (1.55) можно придать важный физический смысл. Если функция Ψ(ξ) в левой части (1.55) нормирована на единицу, то из условия полноты (1.57) следует «условие нормировки» коэффи- циентов: X |cn |2 = 1. (1.60) n
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »