Квантовая теория. Ч. 1. Копытин И.В - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

33
Строгое доказательство полноты системы собственных функций эр-
митова оператора (то есть возможности однозначного представления
любой функции Ψ(ξ) из L
2
в виде ряда (1.55)) дается в курсе функци-
онального анализа. Математически условие полноты системы {Ψ
n
(ξ)}
можно записать в двух видах. Во-первых, если справедливо разложе-
ние (1.55)), то легко получить следующее условие (аналогичное усло-
вию замкнутости в теории рядов Фурье) для всякой функции Ψ(ξ) из
L
2
:
hΨ |Ψi =
X
n
0
n
c
∗
n
0
c
n
hΨ
n
0
|Ψ
n
i
| {z }
δ
n
0
n
=
X
n
|c
n
|
2
. (1.57)
Из соотношения (1.57) можно получить условие полноты системы
функций Ψ
n
(ξ) и в следующем виде, не содержащем произвольной
функции Ψ(ξ):
X
n
Ψ
n
(ξ)Ψ
∗
n
(ξ
0
) = δ(ξ − ξ
0
). (1.58)
Для доказательства перепишем (1.57) с учетом формулы (1.56) для c
n
:
X
n
|c
n
|
2
=
X
n
c
∗
n
c
n
=
X
n
Z
Ψ
n
(ξ)Ψ
∗
(ξ) dξ
Z
Ψ
∗
n
(ξ
0
)Ψ(ξ
0
) dξ
0
Z
(
Z
Ψ
∗
(ξ)
"
X
n
Ψ
n
(ξ)Ψ
∗
n
(ξ
0
)
#
dξ
)
Ψ(ξ
0
)dξ
0
=
Z
Ψ
∗
(ξ
0
)Ψ(ξ
0
)dξ
0
. (1.59)
Из последнего равенства в этом соотношении следует
Ψ
∗
(ξ
0
) =
Z
Ψ
∗
(ξ)
"
X
n
Ψ
n
(ξ)Ψ
∗
n
(ξ
0
)
#
dξ
что, в соответствии с основным свойством δ-функции, и дает условие
полноты в форме (1.58). Можно также проверить и обратное утвер-
ждение (самостоятельно!): из условия (1.58) следует справедливость
соотношения (1.57) для любой функции Ψ(ξ) из L
2
.
Возвращаясь к квантовой теории, покажем, что коэффициентам
разложения в (1.55) можно придать важный физический смысл.
Если функция Ψ(ξ) в левой части (1.55) нормирована на единицу,
то из условия полноты (1.57) следует «условие нормировки» коэффи-
циентов:
X
n
|c
n
|
2
= 1. (1.60)
                                                    33


     Строгое доказательство полноты системы собственных функций эр-
митова оператора (то есть возможности однозначного представления
любой функции Ψ(ξ) из L2 в виде ряда (1.55)) дается в курсе функци-
онального анализа. Математически условие полноты системы {Ψn (ξ)}
можно записать в двух видах. Во-первых, если справедливо разложе-
ние (1.55)), то легко получить следующее условие (аналогичное усло-
вию замкнутости в теории рядов Фурье) для всякой функции Ψ(ξ) из
L2 :                      X                       X
                 hΨ |Ψi =    c∗n0 cn hΨn0 |Ψn i =   |cn |2 .  (1.57)
                                     |  {z   }    n
                          0       nn
                                                         δn 0 n

  Из соотношения (1.57) можно получить условие полноты системы
функций Ψn (ξ) и в следующем виде, не содержащем произвольной
функции Ψ(ξ):
                              X
                                  Ψn (ξ)Ψ∗n (ξ 0 ) = δ(ξ − ξ 0 ).                              (1.58)
                              n

Для доказательства перепишем (1.57) с учетом формулы (1.56) для cn :
       X          X          XZ                Z
               2      ∗
          |cn | =    cn cn =     Ψn (ξ)Ψ (ξ) dξ Ψ∗n (ξ 0 )Ψ(ξ 0 ) dξ 0
                                         ∗

         n                n                n
 Z (Z           "
                    X
                                           #        )                 Z
         ∗
        Ψ (ξ)           Ψn (ξ)Ψ∗n (ξ 0 )       dξ             0
                                                        Ψ(ξ )dξ = 0
                                                                          Ψ∗ (ξ 0 )Ψ(ξ 0 )dξ 0 . (1.59)
                    n

Из последнего равенства в этом соотношении следует
                        Z       "                   #
                                  X
             Ψ∗ (ξ 0 ) = Ψ∗ (ξ)     Ψn (ξ)Ψ∗n (ξ 0 ) dξ
                                                n

что, в соответствии с основным свойством δ-функции, и дает условие
полноты в форме (1.58). Можно также проверить и обратное утвер-
ждение (самостоятельно!): из условия (1.58) следует справедливость
соотношения (1.57) для любой функции Ψ(ξ) из L2 .
   Возвращаясь к квантовой теории, покажем, что коэффициентам
разложения в (1.55) можно придать важный физический смысл.
   Если функция Ψ(ξ) в левой части (1.55) нормирована на единицу,
то из условия полноты (1.57) следует «условие нормировки» коэффи-
циентов:
                                       X
                                               |cn |2 = 1.                                     (1.60)
                                        n

Страницы